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1、word三角形作辅助性方法大全1.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：D为ABC内任一点，求证：BDCBAC证法一：延长BD交AC于E，BDC是EDC 的外角，BDCDEC同理：DECBACBDCBAC证法二：连结AD，并延长交BC于FBDF是ABD的外角，BDFBAD同理CDFCADBDFCDFBADCAD即：BDCBAC2.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.例：，如图，AD为ABC的中线且1 = 2，3 = 4
2、，求证：BECFEF证明：在DA上截取DN = DB，连结NE、NF，如此DN = DC在BDE和NDE中，DN = DB1 = 2ED = EDBDENDEBE = NE同理可证：CF = NF在EFN中，ENFNEFBECFEF3. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：，如图，AD为ABC的中线，且1 = 2，3 = 4，求证：BECFEF证明：延长ED到M，使DM = DE，连结CM、FMBDE和CDM中， BD = CD1 = 5ED = MDBDECDMCM = BE又1 = 2，3 = 4123 4 = 180o3 2 = 90o即EDF = 90oFD
3、M = EDF = 90oEDF和MDF中ED = MDFDM = EDFDF = DFEDFMDFEF = MF在CMF中，CFCM MFBECFEF此题也可加倍FD，证法同上4. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.例：，如图，AD为ABC的中线，求证：ABAC2AD证明：延长AD至E，使DE = AD，连结BEAD为ABC的中线BD = CD在ACD和EBD中BD = CD 1 = 2AD = EDACDEBDABE中有ABBEAEABAC2AD5.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补
4、短法.当或求证中涉与到线段a、b、c、d有如下情况之一时用此种方法：abab = cab = cd例：，如图，在ABC中，ABAC，1 = 2，P为AD上任一点，求证：ABACPBPC证明：截长法：在AB上截取AN = AC，连结PN在APN和APC中，AN = AC1 = 2AP = APAPNAPCPC = PNBPN中有PBPCBNPBPCABAC补短法：延长AC至M，使AM = AB，连结PM在ABP和AMP中AB = AM 1 = 2AP = APABPAMPPB = PM又在PCM中有CM PMPCABACPBPC练习：1.，在ABC中，B = 60o,AD、CE是ABC的角平分线
5、,并且它们交于点O求证：AC = AECD2.，如图，ABCD1 = 2 ,3 = 4. 求证：BC = ABCD 6.证明两条线段相等的步骤：观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。假如图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等.如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.例:如图，BE、CD相交于F，B = C，1 = 2，求证：DF = EF证明：ADF =B3 AEF = C4又3 = 4B = CADF = AEF在ADF和AEF中ADF = AEF1 = 2 AF = AFADFAEFDF = EF7.在一个图
6、形中，有多个垂直关系时，常用同角等角的余角相等来证明两个角相等.例：，如图RtABC中，AB = AC，BAC = 90o，过A作任一条直线AN，作BDAN于D，CEAN于E，求证：DE = BDCE证明：BAC = 90o, BDAN12 = 90o13 = 90o2 = 3BDAN CEANBDA =AEC = 90o在ABD和CAE中，BDA =AEC2 = 3AB = ACABDCAEBD = AE且AD = CEAEAD = BDCEDE = BDCE8.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.例：AD为ABC的中线，且CFAD于F，BEAD的延长线于E求证：BE = C
7、F证明：略9.条件不足时延长边构造三角形.例：AC = BD，ADAC于A，BCBD于B求证：AD = BC证明：分别延长DA、CB交于点EADAC BCBDCAE = DBE = 90o在DBE和CAE中DBE =CAEBD = ACE =EDBECAEED = EC，EB = EAEDEA = EC EBAD = BC10.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题.例：，如图，ABCD，ADBC求证：AB = CD证明：连结AC或BDABCD，ADBC1 = 2 在ABC和CDA中，1 = 2 AC = CA3 = 4 ABCCDAAB = CD练习：，如图，AB = DC，
8、AD = BC，DE = BF，求证：BE = DF11.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归.例：，如图，在RtABC中，AB = AC，BAC = 90o，1 = 2 ，CEBD的延长线于E求证：BD = 2CE证明：分别延长BA、CE交于FBECFBEF =BEC = 90o在BEF和BEC中1 = 2 BE = BEBEF =BECBEFBECCE = FE =CFBAC = 90o , BECFBAC = CAF = 90o1BDA = 90o1BFC = 90oBDA = BFC在ABD和ACF中BAC = CAFBDA = BFCAB = ACAB
9、DACFBD = CFBD = 2CE练习：，如图，ACB = 3B，1 =2,CDAD于D，求证：ABAC = 2CD12.当证题有困难时，可结合条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形.例：，如图，AC、BD相交于O，且AB = DC，AC = BD，求证：A = D证明：连结BC，过程略13.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件.例：，如图，AB = DC，A = D求证：ABC = DCB证明：分别取AD、BC中点N、M，连结NB、NM、NC过程略14.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.例：，如图，1 =
10、 2 ，P为BN上一点，且PDBC于D，ABBC = 2BD，求证：BAPBCP = 180o证明：过P作PEBA于EPDBC，1 = 2 PE = PD在RtBPE和RtBPD中BP = BPPE = PDRtBPERtBPDBE = BDABBC = 2BD，BC = CDBD，AB = BEAEAE = CDPEBE，PDBCPEB =PDC = 90o在PEA和PDC中PE = PDPEB =PDCAE =CDPEAPDCPCB = EAPBAPEAP = 180oBAPBCP = 180o练习：1.，如图，PA、PC分别是ABC外角MAC与NCA的平分线，它们交于P，PDBM于M，P
11、FBN于F，求证：BP为MBN的平分线2. ，如图，在ABC中，ABC =100o，ACB = 20o，CE是ACB的平分线，D是AC上一点，假如CBD = 20o，求CED的度数。15.有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：，如图，AB = AC，BDAC于D，求证：BAC = 2DBC证明：方法一作BAC的平分线AE，交BC于E，如此1 = 2 = BAC又AB = ACAEBC2ACB = 90oBDACDBCACB = 90o2 = DBCBAC = 2DBC方法二过A作AEBC于E过程略方法三取BC中点E，连结AE过程略有底边中点时，常作底边中线例：，如图，
12、ABC中，AB = AC，D为BC中点，DEAB于E，DFAC于F，求证：DE = DF证明：连结AD.D为BC中点，BD = CD又AB =ACAD平分BACDEAB，DFACDE = DF将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：，如图，ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE = AF，求证：EFBC证明：延长BE到N，使AN = AB,连结,如此AB = AN = ACB = ACB, A = ANCBACBAANC = 180o2BCA2A = 180oBCAA = 90o即B = 90oNCBCAE = AFAEF = AFE又BAC = AEF AFEBAC = A ANCBAC =2AEF = 2ANCAEF = ANCEFNCEFBC常过一腰上的某一点做另一腰的平行线例：，如图，在ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F求证：DF = EF证明：证法一过D作DNAE，交BC于N，如此DNB = ACB，NDE = E，AB = AC，
