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1、函数的单调性课件篇一：函数的单调性与最大(小)值课件 1.3.1 函数的单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性 学习目标要求： 1.理解函数单调性的概念； 2.掌握判断函数单调性的一般方法； 3.体验数形结合思想在函数性质研究中的价值，掌握其应用。 一、函数单调性的概念 1：增函数 (1)定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，区间D称为函数f(x)的单调递增区间。 (2)几何意义：函数f(x)的图象在区间D上是上升的，如图所示： 2：减
2、函数 (1)定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D称为函数f(x)的单调递减区间。 (2)几何意义：函数f(x)的图象在区间D上是下降的，如图所示： 3：单调性与单调区间 定义：如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。 思考： (1)单调性是函数在定义域上的“整体”性质吗? 不是，由定义中“定义域I内某个区间D”知函数的单调递增区间或单调递
3、减区间是其定义域的子集，这说明单调性是与“区间”紧密相关的，一个函数在定义域的不同区间可以有不同的单调性。 (2)定义中的“x1、x2”具备什么特征? 定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1,x2，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1<x2；三是属于同一个单调递增区间或单调递减区间。 (3)增(减)函数定义的核心是一组不等关系,据此你还能得出什么结论? 增函数 有>0,减函数有<0 二、判断函数单调性的一般方法 (1)定义法：利用定义严格判断。一般步骤如下： 取值：任选定义域中同一单调区间D上的自变量值x1，x2，且设x1<
4、;x2； 作差：求f(x2)-f(x1)； 变形：即将中的差式f(x2)-f(x1)进一步化简变形，变到利于判断f(x2)-f(x1)的正负为止；变形的主要技巧： A、因式分解：当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解； B、通分：当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解； C、配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号； D、分子或分母有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子或分母有理化，如f(x)= 定号：根据变形结果，确定f(x2)-f(x1)的符号； 判断：根据x1与x2的大小关系及f(x1)与f(x2)的大小关系，结合单调
5、性定义得出结论。 典型例题 例1：证明函数f(x)=x+在(0,1)上为减函数。 例2：用单调性的定义证明函数f(x)?x2?1?x在R上是减函数。 (2)图象法：作出函数的图象,用数形结合的方法确定函数的单调性。 (3)直接法：对于我们所熟悉的函数，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数等。 (4)记住几条常用的结论： a.函数y=f(x)与y=-f(x)的单调性相反; b.当f(x)>0或f(x)<0时,函数y=与y=f(x)的单调性相反; c.在公共区间内，“增+增=增”，“减+减=减”，“增-减=增”，“减-增=减”。思考： (1)单调区间的端点值如何取舍?
6、 对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括区间端点，也可以不包括区间端点，但当函数在某些端点无意义时，单调区间就不能包括这些点。 (2)多个单调递增(减)区间之间能否用“”连接? 不能取这些区间的并集，而应用“,”将它们隔开或用“和”字连接。 三、函数单调性的应用 1、已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-,4上是减函数，求实数a的取值范围。 名师导引：(1)二次函数的单调性取决于什么？ 开口方向（a>0，开口向上；a<0，开口向下）与对称轴（-b/2a） (2)(-,4是函数的单调递减区间吗?
7、 可能不是，可能是其子集。 解： f(x)= x2+2(a-1)x+2， ?此二次函数图象的对称轴为x=1-a， ?f(x)的单调递减区间为(-,1-a， f(x)在(-,4上是减函数， ?对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合， ?1-a4，解得a-3， 即实数a的取值范围为(-,-3。 思考： “函数f(x)的单调区间是(a,b)”与“f(x)在区间(a,b)上单调”有何不同的含义? 前者表明区间(a,b)是其单调区间的全部，而后者表明区间(a,b)是其单调区间的子集。 2、函数y=x2-2mx+3在区间1,3上具有单调性,则m的范围为 。 解析:函数图象的对称轴为x=m, ?函
8、数在(-,m上递减,m,+)上递增, 函数在1,3上具有单调性, ?m1或m3. 答案:(-,13,+) 3、已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数，且f(1-a)<f(3a-2)，求a的取值范围。 解：f(1-a)<f(3a-2)? 解得<a<. ?a的取值范围是(,).第二课时 函数的最大(小)值 学习目标要求： 1.理解函数的最大(小)值及其几何意义； 2.会求一些简单函数的最大值或最小值； 3.体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值问题中的应用。 一、最值的概念 1：最大值 （1）定义：一般地，设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： 对于
9、任意的x?I，都有f(x)?M； 存在x0?I，使得f(x0)?M。 那么，我们称M是函数y?f(x)的最大值（maximum value）. （2）几何意义：函数y?f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标。 2：最小值 （1）定义：一般地，设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： 对于任意的x?I，都有f(x)?M； 存在x0?I，使得f(x0)?M。 那么，我们称M是函数y?f(x)的最小值（minimum value）. （2）几何意义：函数y?f(x)的最大值是图象最低点的纵坐标。 思考： (1)定义条件中的“任意”一词表达什么含义? “任意”是说对定义域内的所有元素所对应的
10、每一个函数值都必须满足不等式f(x)M，即最大值是函数的“整体”的性质。 (2)定义条件中的“存在”一词表达什么含义? 两层含义：一是强调最大值的属性，即它是值域中的一个元素；二是强调最大值的唯一性。 (3)函数一定存在值域,那么函数一定存在最值吗? 对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y=。如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素。 (4)函数的单调性刻画了函数值大小的变化趋势,那么它与最值存在什么关系呢? 若函数f(x)在闭区间a,b上是减函数，则f(x)在a,b上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；若函数f(x)在闭区间a,b上是增函数，则f(x)在a,b上的最大值
11、为f(b)，最小值为f(a)； 若函数f(x)在开区间(a,b)上是增(减)函数，则f(x)在(a,b)上不存在最值，但可以说函数f(x)在区间(a,b)上的值域为(f(a)，f(b)或(f(b)，f(a)。 二、求函数最值（值域）常见的方法 1、观察法（数形结合法、图像法） 由函数的定义域结合图象（最值的几何意义：图象最高点、最低点的纵坐标），或直观观察，准确地判断函数值域的方法。 【例1】 如图为函数y=f(x)，x-4,7的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间。 解：观察函数图象可以知道： 图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(-1.5,-2) 所以函数y=f(x)，当x=3时取
12、得最大值，最大值是3， 当x=-1.5时取得最小值，最小值是-2， 函数的单调递增区间为-1.5,3)，5,6)， 单调递减区间为-4,-1.5)，3,5)，6,7。 方法小结：如何利用图象求函数最值？ 画出函数y=f(x)的图象； 观察图象，找出图象的最高点和最低点； 写出最值,最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值。 【例2】求函数f(x)= 解:函数f(x)的图象如图 由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1，无最大值。 的最值。 2、单调性判定法 【例3】已知函数f(x)=,x3,5，求函数f(x)的最大值和最小值。 解：任取x1，x23,5且x1<x2，则篇二：函数的单调性课件 毅帆教育学科培训师辅导讲义毅帆教育个性化学习中心教务管理部 1毅帆教育个性化学习中心教务管理部 2 毅帆教育个性化学习中心教务管理部 3 毅帆教育个性化学习中心教务管理部 4 毅帆教育个性化学习中心教务管理部 5 篇三：函数的单调性 函数的单调性课件
