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1、林丽美 三个三次幂等矩阵线性组合的秩的不变性的一些研究莆 田 学 院毕 业 论 文 题 目 三个三次幂等矩阵线性 的秩的不变性的一些研究 学生姓名 学 号 专 业 信息与计算科学 班 级 计算062 指导教师 二0一0年五月一日1目 录1 引言（2）2 引理（5）3 主要结果及证明（6）结束语 （19）致谢（20）参考文献（20）三个三次幂等矩阵线性组合的秩的不变性的一些研究林丽美( 莆田学院数学系 指导教师:杨忠鹏 )摘要：由于可逆是秩的一种特殊情况，所以，本文将考虑更一般的情况，即从秩的方面来考虑三个非零三次幂等矩阵的线性组合。2008年，黄毅青教授举出了一些反例，说明了当矩阵的幂等次数时
2、，的可逆性与系数的选择无关且的秩与系数的选择无关的这两个性质都没有了。对于黄毅青教授指出的这个问题，在我十分清醒的分析了那些例子之后，总结出了两点：其一、随着幂等次数的增大，系数所满足的条件应当做适当的改变。其二、结论不成立是在矩阵不可交换的前提下提出的。之后阅读了大量的相关文献发现矩阵可交换的这个前提对于幂等次数的矩阵的线性组合的一系列问题的研究都是必要的，所以，本文中所探讨的三个三次幂等矩阵是两两可交换的这个前提是有一定依据的。在这些基础上本文探讨了三个两两可交换的非零三次幂等矩阵的线性组合的秩的不变性的充分条件。由于三个三次幂等矩阵是两两可交换的，所以三个三次幂等矩阵可同时对角化，且对角
3、元素为其特征值。又因为三次幂等矩阵的特征值为0或1或-1，所以由三个三次幂等矩阵的第个特征值构成的三维数组总共有种情况，构成一个集合。本文的证明就是将这27种情况进行分类，然后对于每一类都进行证明，证明的主要思路是或。每个定理都给出了三个两两可交换的非零三次幂等矩阵的线性组合的秩的不变性的充分条件，显然充分条件远远不止这些，还可以进行更深层次的探讨。关键词：三次幂等矩阵 线性组合 秩等式 系数选择 Abstract: Since invertibility is a special case of rank,so this paper will consider the more genera
4、l situation. In 2008, professor NGAI-CHING WONG cited some counter-examples, shows that the nature of the invertibility of not relates with the choice of coefficients and the rank of not relates with the choice of coefficients lost, if matrices is -potents idempotent. For professor NGAI-CHING WONG p
5、ointed out this problem, after I am very clear in the analysis of those examples, summarized two points: First, with the increase of idempotent number, the conditions of the coefficients satisfied should be appropriate changed. Second, not set up can be proposed under the premise of matrices are non
6、commutative. We can found that the premise which matrices are commutative is necessary to the research of a series of questions of the linear combination of matrices with idempotent number after reading a great deal of relevant references, therefore, the premise which three tripotent matrices are co
7、mmutative pairwise is a certain reason. Based on these the paper discussed the sufficient conditions with the invariance of the rank for linear combination of three commute tripotent matrices , that is, ,which andare non-zero complex numbers. Because three tripotent matrices is commute by two, there
8、fore three tripotent matrices could simultaneous diagonalization and diagonal elements of its eigenvalues. Let be the eigenvalues of , then is diagonalizable and ，, so by the No. eigenvalue of three tripotent matrices constituted three-dimensional array has scenarios in total and then 27 scenarios c
9、onstituted a set . The 27 kinds of situations can be classified with the proof of this paper, and then each class to prove it holds. It is that or . Each Theorem is given sufficient conditions with the invariance of the rank for linear combination of three commute tripotent matrices, clearly suffici
10、ent condition is far more than these, these can be deeper study too.Key words: Tripotent matrix Rank of matrices Linear combination Choice of coefficient 1、引言 设为复数域上的阶矩阵集合.,为矩阵的秩。当时，称为三幂等矩阵。对非零，总记，且。统计学中很多方法都涉及到投影阵（幂等阵）或投影算子（幂等算子），而斜投影算子则是回归模型的变量估计中一个特别有用的工具。例如：、二次型服从分布 , （1.1）其中且，是一个服从多元正态分布的维随机变量，
11、其中是单位阵 (见3, 定理5.1.1和4，引理9.1.2)。、是两个相互独立并且服从分布的随机变量的差， （1.2）其中 且，是一个服从多元正态分布的维随机变量，其中是单位阵(见5的定理1)。 更多的相关应用见文3-5和文6-7。因此，近几年来，幂等矩阵、幂等算子以及三次幂等矩阵的研究受到了国内外许多学者的关注，其中幂等矩阵、幂等算子、三次幂等矩阵的线性组合问题是个热点问题，而且得到了一些研究成果。例如：、幂等性2000年，和得到（见8）是幂等阵时的所有情形，当,， 。 仍是幂等矩阵的某些情况甚至所有的情况已经得以研究（见3489101112），其中是非零幂等矩阵。2002年，J.K.Bak
12、salary,O.M. Baksalary和G.P.H. Styan得到（见 13）是幂等阵的所有情况，当 ， （见3的引理5.6.6）. 2004年， O.M. Baksalary得到了（见 14 ）是幂等阵的所有情形，其中是非零的幂等阵，是正交的，即。 2004年，Jerzy K.Baksalary,Oskar Maria Baksalary和Halim Ozdemir得到（见15）是三次幂等矩阵的充要条件，其中 。若是在复数域上考虑，则Halim Ozdemir和Ahmet Yasar Ozban对8中可交换的幂等矩阵的线性组合仍然是幂等矩阵的充要条件给出了新的证明（见16），并且给出了
13、三个两两可交换的非零幂等矩阵的线性组合仍然是幂等矩阵的充要条件。2005年，J. Benitez和 N. Thome得到（见17）了仍然是幂等阵的充要条件，其中 。 当是实数时，若是幂等矩阵，则只能为2或3（见18）。当和时已经分别做了研究（见813）。 2007年，Oskar Maria Baksalary和 Julio Benitez得到（见18）了复数域上三个幂等矩阵的线性组合（其中两个是可交换的）是幂等阵的所有情形，这篇文章是受到Baksalary14的启发。 18通过与14不同的研究方法，把其中两个幂等矩阵是正交的前提弱化成了这两个幂等阵是可交换的。2007年，Urailuk Sin
14、gthong and Wiwat Wanicharpichat对可交换的3个三次幂等矩阵的线性组合的幂等性的研究是成功的（见19）。2009年，Halim Ozdemir, Murat Sarduvan, Ahmet Yacar Ozban和Nesrin Giiler对15的主要定理给出了新的证明（见20中），并且证明了两个可交换的三次幂等矩阵的线性组合是幂等矩阵和三次幂等矩阵时的所有情形。、可逆性2004年，J.K. Baksalary和 O.M. Baksalary得到 (见1，定理1)可逆可逆，当,时； （1.3）2006年，Y.Tian，G.P.H.Styan推广(1.3)得到(见21,定理2.2)，则,. (1.4) 2007年，张俊敏、成立花、李祚得到1) 、可逆可逆， （1.5） 当且，,时；（见22，定理2）2) 、三个三次幂等矩阵的线性组合的可逆性问题（见22，定理4）。即 当可逆时，是可逆的一些情况
