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1、 题目：矩阵方程AX+XB=D的极小范数最小二乘解姓 名 学 号 指导教师 专 业 学 院 摘 要矩阵理论既是学习经典数学的基础，又是一门最有实用价值的数学理论。它不仅是数学的一个重要的分支，而且也已经成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具。特别是计算机的广泛应用，为矩阵论的应用开辟了广阔的前景。例如，系统工程、优化方法以及稳定性理论等，都与矩阵论有着密切的联系。当前，在矩阵理论领域，对矩阵方程解的研究一直是最热点的问题之一，矩阵方程及其解的问题在生物学、电学、光子光谱学、振动理论、线性最优控制等很多领域都有重要的应用。矩阵方程解的研究与探索更是没有间断过，可见该方程
2、的求解问题确实是一个非常重要的课题。本文将围绕该命题展开讨论，利用矩阵的直积（Kronecker积）、按行拉直和矩阵的满秩分解等算法解出矩阵方程的极小范数最小二乘解，并且它可由Moore-Penrose逆表出。关键词：矩阵方程 极小范数最小二乘解 矩阵的直积（Kroneck积） 满秩分解算法 Moore-Penrose逆ABSTRACTMatrix theory is the foundation of learning classical mathematics, as well as one of the most meaningful mathematical theories. It
3、is not only an important branch of mathematics, but also has become a powerful tool of handling many relationships between the finite dimension space structures and quantities in varity fields of modern technology. The extensive use of computer has brought a bright prospect to the application of mat
4、rix theory. Many problem have close relation with matrix theory, such as system engineering, optimization method, stability theory, and so on.Nowadays, the research on matrix equations has been turning into one of the hottest topics in matrix theory . It is widely used in different areas, for exampl
5、e, biology, electrics, spectroscopy, vibration theory, linear optimal control, etc. And people have researched and explored the solution of matrix equation all the time, which means the subject study is absolutely crucial. This paper discusses the available solutions of matrix equation, using Kronec
6、ker product, full rank decomposition of matrix to obtain the minimal norm least squares solution of matrix equation . And it can be expressed by Moore-Penrose inverse.Key words: matrix equation; the minimum norm least squares solution; Kronecker product; full rank factorization algorithm; Moore-Penr
7、ose inverse 目 录摘 要1ABSTRACT21 绪论41.1李雅普诺夫矩阵方程应用背景及研究现状51.2 本文的主要工作51.3 符号说明62 预备知识72.1 矩阵的范数72.1.1 矩阵范数的定义82.1.2 矩阵范数的性质82.2 矩阵的直积及其应用102.2.1 直积的概念102.2.2 矩阵直积的性质112.2.3 线性矩阵方程的可解性112.3 矩阵的满秩分解122.3.1 矩阵满秩分解的定义122.3.2 矩阵满秩分解的性质122.4 广义逆矩阵的存在和性质142.4.1 Penrose的广义逆矩阵定义142.4.2 广义逆矩阵的性质142.4.3 Moore-Pen
8、rose逆矩阵的计算153 矩阵方程的极小范数最小二乘解163.1 广义逆矩阵与线性方程组的求解163.1.1 线性方程组极小范数最小二乘解的定义163.1.2 矩阵方程转化为线性代数方程组173.2 矩阵方程的求解183.2.1 矩阵方程在相容条件下解的情况193.2.2矩阵方程不相容时解的情况21结论22致谢23参考文献241 绪论矩阵理论既是学习经典数学的基础，又是一门最有实用价值的数学理论。它不仅是数学的一个重要的分支，而且也已经成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具。在矩阵理论领域，对矩阵方程解的研究一直是最热点的问题之一，而矩阵方程解的研究与探索更是没有间
9、断过，但几乎所有的结论要么基于矩阵为特殊矩阵（如对称矩阵等）的情形，要么解的表达形式过于繁琐。此外，还有一些文献仅仅只是讨论了解的存在性。而在力学以及控制论等诸多领域利亚普诺夫方程都有着很重要的应用。可见该方程的求解问题确实是一个非常重要的课题，所以，考虑给出该方程的极小范数最小二乘解的表达式也是很有必要的。本文将围绕该命题展开讨论，并且最终给出它的重要应用矩阵方程的最小二乘解以及极小范数最小二乘解。1.1李雅普诺夫矩阵方程应用背景及研究现状在科学与工程中，经常会遇到求解线性方程组的问题。矩阵是描述和求解线性方程组最基本和最有用的数学工具。矩阵有很多基本的数学运算，如转置、内积、外积、逆矩阵、
10、广义逆矩阵等。矩阵方程及其解的问题在生物学、电学、光子光谱学、振动理论、有限元、结构设计、参数识别、自动控制理论、线性最优控制等很多领域都有重要的应用，正是这些领域提出了许多不同类型的线性矩阵方程的模型问题刺激了理论的快速发展,使得线性矩阵方程的求解问题成为当今计算数学领域的热门研究课题之一，经过国内外的专家和学者的不断探索, 迄今为止，线性矩阵方程问题的研究已取得了一系列丰硕的成果。对于矩阵方程, 1955年, Penrose得到了它有一般解的充要条件和通解表达式；1994年，黄礼平博士研究了四元数体上方阵的标准形与矩阵方程的问题； 2002年，马飞博士研究了矩阵方程的迭代解法问题, 得出方
11、程在不同精度下的解并给出迭代所需步数；2004年, 袁永新教授研究了矩阵方程的最优解问题。1.2 本文的主要工作论文第一章简要的介绍了利亚普诺夫方程研究的实际背景及研究现状；第二章介绍了已有的主要结果、范数理论、矩阵的直积（Kronecker积）、按行拉直和矩阵的满秩分解算法等。第三章为本文的主要工作，本文根据直积的定义及性质可以将矩阵方程拉直为一般的线性方程组，以此为基础，求解经过按行向量拉直转化得到的线性方程组，解出该方程的极小范数解和最小二乘解，虽然最小二乘解一般不是唯一的，但是极小范数最小二乘解确实唯一的，并且它可由Moore-Penrose逆表出。若矩阵方程不相容，则它的极小范数最小
12、二乘解需满足求出的即为矩阵方程极小范数最小二乘解。第四章给出了结论，最后是本文的参考文献与致谢。1.3 符号说明 实数域 实维向量空间 实矩阵空间 秩为的实矩阵的集合 复数域 复维向量空间 复矩阵空间 秩为的复矩阵的集合 矩阵的行列式 维线性空间 矩阵的值域，的列空间 矩阵的秩 单位变换 向量与向量的内积 向量生成的子空间 矩阵的转置 矩阵的共轭转置 矩阵的行列处的元素 矩阵的任意范数 矩阵的Frobenius范数 矩阵的条件数 向量的-范数 矩阵的第个特征值 矩阵与矩阵的直积 矩阵按行拉直所得到的列向量 矩阵的Moore-Penrose逆 矩阵的群逆 2 预备知识2.1 矩阵的范数在计算数学中，特别是在数值代数中，研究数值方法的收敛性、稳定性及误差分析等问题时，范数理论都显得十分重要。本章主要讨论矩阵空间中的矩阵范数的理论及其性质。矩阵空间是一个维的线性空间，将矩阵A看做线性空间中的“向量”，可以按照定义-范数的方式定义A的范数。但是，矩阵之间还有乘法运算，它应该在定义范数时予以体现。2
