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1、毕 业 论 文专 业： 信息与计算科学 题 目：求解Jacobi矩阵特征值反问题 的数值方法 求解Jacobi矩阵特征值反问题的数值方法摘要：Jacobi矩阵特征值反问题就是根据已知的特征值和特征向量的某些信息求Jacobi矩阵的元素,这类问题产生于地球物理、振动力学等应用学科。由于实际问题的差异而提出的问题也不尽相同,但其基本问题为给定两组交错升序排列的共2n-1个实数,求一个n阶Jacobi矩阵T,使得T和它的右下角n-1阶主子阵的特征值分别为这两组实数。我们将应用不同的数值方法来处理这一问题,并试着解决其它类型的比如广对称Jacobi矩阵的特征值反问题等。本文主要通过相关的公式推导,给出
2、Jacobi矩阵特征值反问题的基本问题的解的存在唯一性的证明；并编写不同数值方法的计算程序,比较相应的数值结果,分析相应数值方法的准确性、运算量和稳定性。关键词：Jacobi矩阵,特征值,反问题,数值稳定性毕业设计论文中文摘要 / 毕业设计论文外文摘要Title NumericalMethodof Solving Inverse Problems about Jacobi MatrixEigenvalueAbstract:The basic problem of solving inverse problems about Jacobi matrix eigenvalue is finding
3、 the elements of Jacobi matrix from some information about the eigenvalues and eigenvectors, such problems arise in geophysics, mechanical vibration applications such as discipline. As the real problems of differences in question are not the same, but the basic problem for a given two sets of stagge
4、red ascending order of total 2n-1 real numbers, find a n-order Jacobi matrix T, so T and its lower right corner n-1 sub matrix of order characteristic values were two sets of real numbers. We will apply different numerical methods to address this issue, and try to solve other types, such as its symm
5、etric Jacobi matrix inverse Eigen value problems. The paper to the corresponding formula derived by given the proof of existence and uniqueness about the basic Jacobi matrix inverse Eigenvalue problem; the corresponding programs for different numerical methods to compare the corresponding numerical
6、results, the numerical method accuracy, computation, stability. Keywords：Jacobi Matrix, Eigenvalue, Inverse Problem, Numerical Stability目 次1 引言12 基本问题和定性理论32.1 基本问题32.2 定性理论43 Jacobi矩阵特征值反问题的数值方法83.1 Lanczos方法83.2 正交约化法93.3 数值实验134 结论应用184.1 秩1修改问题184.2 广对称Jacobi矩阵特征值反问题20结 论24参 考 文 献25致 261 引言数学中有各
7、种各样的反问题,一般来说反问题要比正问题复杂,而且反问题的解通常带有某种程度的不稳定性。譬如乘问题：给定两个数求它们之积,它的反问题就是求一个数的两个因子。像其他许多反问题一样,因子分解并不总是有唯一的解,如果要求该反问题有唯一的解,就必须附加一些限制条件。在数值代数中,已知一个矩阵求其特征值或特征向量称为代数特征值问题,代数特征值反问题就是在一定的限制条件下,求矩阵使其具有预先给定的特征值或者特征向量。代数特征值反问题的来源非常广泛,它不仅来自对数学物理反问题的离散化,而且来自于控制设计、参数系统参数识别、主元分析、粒子物理、量子力学、结构分析、探险和遥感等许多领域,数值代数自身也提出一些代
8、数特征值反问题。例如,在求解线性代数方程组Ax=b的一些迭代法收敛性研究中,就要寻找一个非奇异矩阵H,使矩阵的条件数最小,这本质上可以作为代数特征值反问题。代数特征值反问题的研究容主要包括以下四个方面： 1) 可解性：研究某类特征值反问题是否有解以及解存在的充分必要条件；2) 数值计算方法：根据预先给定的特征值、特征向量的信息,用数值方法去构造反问题的解；3) 敏感性分析：当预先给定的特征值、特征向量改变,特征值反问题的解如何改变；4) 适用性：问题的实际背景及应用。国外关于代数特征值反问题方面的文献和著述是很多的。周树荃、戴华的专著代数特征值的反问题,该书全面系统地阐述了各种类型的矩阵特征值
9、反问题及其主要结果；许树方的专著An introduction to Inverse Algebraic Eigenvalue Problems,介绍了四种类型特征值反问题：Jacobi矩阵特征值反问题、极点配置问题、加法和乘法反问题,以及非负矩阵反问题,该书第一次用英文介绍了中国学者所做的关于这四类矩阵特征值反问题的敏感性分析方法的工作；Gladwell的专著Inverse problem,该书主要从应用力学角度讲述振动中的各种特征值反问题。Boley和Golub的综述A survey of matrix inverse eigenvalue problems,该文献主要讲述的是各类Jaco
10、bi矩阵特征值反问题及其相应的数值算法；M.D.Chu和Golub的综述Structured inverse eigenvalue problems,该综述参考了四百多篇文献收集了39类矩阵特征值反问题,论述了这些反问题的最新进展,并将这些特征值反问题归结为三类：带参数的特征值反问题,结构特征值反问题以及部分构造的特征值反问题。在所有代数特征值反问题中,关于Jacobi矩阵特征值反问题的研究成果是最为丰富的,Jacobi矩阵来源于弹簧质点系统、复合摆以及Sturm-Liouville等实际问题。Jacobi矩阵形式简单,它可以根据给定的特征值和特征向量直接判断它的各类特征值反问题是否存在解,这
11、些判断条件往往是Jacobi矩阵本身性质所决定的,而不是人为地强加给反问题的。此外,在解存在的情况下,它往往可以应用各种数值算法比如Lanzcos方法、正交约化方法中的驱逐出境法和Rutishauser方法直接构造。Jacobi矩阵是实对称三对角阵,其中次对角线上元素大于零, Jacobi矩阵特征值反问题就是根据已知的特征值和特征向量的某些信息求Jacobi矩阵的元素,这类问题产生于地球物理、振动力学等应用学科。本论文根据已知的特征值和特征向量的某些信息求Jacobi矩阵的元素,并应用不同的数值方法：Lanzcos方法、正交约化方法中的驱逐出境法和Rutishauser方法来进行相应的数值试验
12、,比较相应的运算量、方法的稳定性等。Jacobi矩阵是实对称三对角阵,其中次对角线上元素大于零,确定一个实对称三角矩阵,除了零元素外,只有2n-1个元素需要确定。论文的第一章简要的介绍了特征值反问题的概念、研究容和已有的一些研究著作；第二章介绍了Jacobi矩阵的形式,问题2.1：给定两组交错升序排列的实数：求一个n阶Jacobi矩阵T,使得T和它的右下角n-1阶主子阵的特征值分别为和有解的充要条件、解的存在唯一性的证明；第三章运用不同的数值方法：Lanzcos方法、正交约化方法中的驱逐出境法和Rutishauser方法来进行相应的数值试验,比较相应的运算量、方法的稳定性；给出Lanzcos方
13、法、正交约化方法中的驱逐出境法和Rutishauser方法的算法并编写相应的Matlab程序；第四章试着用上述方法解决秩1修改问题：给定2n个实数：求一个n阶Jacobi矩阵T,使得T的特征值就是给定的数,而将T的1,1位置上的元素作适当修改后得到的Jacobi矩阵就有特征值和广对称Jacobi矩阵的特征值反问题：给定n个实数求一个n阶广对称Jacobi矩阵T,使得T的特征值就是给定的数。2 基本问题和定性理论所谓Jacobi矩阵是指形如的实对称三对角矩阵,其中次对角线上元素大于零。对于给定的n阶Jacobi矩阵T, 我们用来表示T划去第一列和第一行之后所得到的n-1阶主子阵,通常称作T的右下
14、角的n-1阶主子阵。2.1 基本问题Jacobi矩阵特征值反问题就是根据已知的特征值和特征向量的某些信息求Jacobi矩阵的元素。这类问题产生于地球物理、振动力学等应用学科,由于实际问题的差异而提出的问题也不尽相同,但其中最基本的问题是：问题2.1：给定两组交错升序排列的实数：求一个n阶Jacobi矩阵T,使得T和它的右下角的n-1阶主子阵的特征值分别为和。这类问题由Hochstadt于1967年首先提出的,经过几十年的深入研究,现在已达到实用阶段。在理论上已经证明上述问题的解的存在唯一性,并连续的依赖于给定的数据；数值方法上,已经得到几种快速稳定的方法。2.2 定性理论定理2.1：设T是n阶
15、Jacobi矩阵,则T是问题2.1的解的充要条件是T有如下分解其中,正交,而且Q的第一行元素满足证明：必要性 若T是问题2.1之解,则由是T的特征值,故存在正交矩阵使得成立,又T的右下角的n-1阶主子阵的特征值是,则由引理知 成立。充分性 设T有分解并满足。记 。由前面学过的引理知, 。由T满足知,从而由和可得。注意到和都是的n-1次首一多项式,互不相同,即知蕴含着。从而的特征值是,即T是问题2.1之解。定理2.2：问题2.1有且仅有一个解。证明： 存在性 由给定的2n-1个数定义两个多项式：和。下证存在实数,正数和一个n-2次首一多项式满足并且的零点严格分隔的零点。 设并代入,比较两边同次幂的系数,可得。只要证明了0,则上述公式就有意义,从而也就找到了所需的数,和多项式。由和的定义,可得, , 。于是,有,。从已知的2n-1个数满足条件立即知道0。在中令即得 , 。由此即知的符号为。所以在每个区间,必有的一个零点。又至多有n-2个互不
