《高中数学第三章导数及其应用3.3.2函数的极值与导数学案新人教A版选修11071》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第三章导数及其应用3.3.2函数的极值与导数学案新人教A版选修11071（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3.2函数的极值与导数1.了解极值的概念、理解极值与导数的关系.(难点)2.掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值.(重点)3.会根据函数的极值求参数的值.(难点)基础初探教材整理函数的极值与导数阅读教材P93函数的极值与导数P94例4以上部分，P95思考P96练习以上部分，完成下列问题.函数的极值与导数1.极值点与极值(1)极大值点与极大值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都不大于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值.(2)极小值点与极小值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点
2、的函数值都不小于x0点的函数值.称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值.(3)极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为函数的极值.2.求可导函数yf(x)的极值的方法解方程f(x)0，当f(x0)0时，(1)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)导数值为0的点一定是函数的极值点.()(2)函数的极大值一定大于极小值.()(3)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合.()(4)函数f(x)有极值.()【答案】(1)(
3、2)(3)(4)小组合作型求函数的极值(1)对于函数f(x)x33x2，给出命题：f(x)是增函数，无极值；f(x)是减函数，无极值；f(x)的单调递增区间为(，0)，(2，)，单调递减区间为(0,2)；f(0)0是极大值，f(2)4是极小值.其中正确命题的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个【自主解答】f(x)3x26x.令f(x)3x26x0，得x2或x0；令f(x)3x26x0，得0x2.函数f(x)在区间(，0)和(2，)上单调递增，在区间(0,2)上单调递减.当x0和x2时，函数分别取得极大值0和极小值4.故错，对.【答案】B(2)求下列函数的极值：f(x)2x；f(x)3ln
4、 x. 【导学号：97792046】【自主解答】f(x)2x，函数的定义域为x|xR且x0，f(x)2，令f(x)0，得x12，x22.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,0)(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值8极小值8因此，当x2时，f(x)有极大值8；当x2时，f(x)有极小值8.函数f(x)3ln x的定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0，得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值3因此，当x1时，f(x)有极小值3.可导函数极值和极值点的求解步骤1.确定函数的定义域.2.求方程f(
5、x)0的根.3.用方程f(x)0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.4.由f(x)在方程f(x)0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况.再练一题1.求下列函数的极值：(1)f(x)x3x23x3；(2)f(x)2.【解】(1)函数的定义域为R，f(x)x22x3.令f(x)0，得x3或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值6x1是f(x)的极大值点，x3是f(x)的极小值点，且f(x)极大值，f(x)极小值6.(2)函数的定义域为R，f(x).令f(x)0，得x1或x1.当x变化时
6、，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极小值3极大值1由表可以看出：当x1时，函数f(x)有极小值，且f(1)23；当x1时，函数f(x)有极大值，且f(1)21.已知函数的极值求参数范围(值)已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，求a，b的值. 【导学号：97792047】【精彩点拨】f(x)在x1处有极值0有两方面的含义：一方面x1为极值点，另一方面极值为0，由此可得f(1)0，f(1)0.【自主解答】f(x)3x26axb且函数f(x)在x1处有极值0，即解得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，此时函数
7、f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去.当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3).当x(，3)时，f(x)0，此时f(x)为增函数；当x(3，1)时，f(x)0，此时f(x)为减函数；当x(1，)时，f(x)0，此时f(x)为增函数.故f(x)在x1处取得极小值.a2，b9.已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.再练一题2.(1)已知函数f(x)x3ax在R上有两个极值点，则实数
8、a的取值范围是_.【解析】f(x)3x2a，由题可知f(x)0有两个不等的根，所以a0.【答案】(，0)(2)已知函数f(x)ax3bx2，当x1时，有极大值3.求a，b的值；求函数f(x)的极小值.【解】当x1时，函数有极大值3，解之，得a6，b9.经检验知a6，b9符合题意.f(x)18x218x18x(x1).当f(x)0时，x0或x1.当f(x)0时，0x1；当f(x)0时，x0或x1.函数f(x)6x39x2的极小值为f(0)0.探究共研型含参数的函数的极值问题探究求含参函数的极值时，应注意哪些事项？【提示】(1)要注意运用分类讨论思想和数形结合思想；(2)区间内的单调函数没有极值；
9、(3)导数为0的点不一定是极值点.设函数f(x)x33axb(a0)，求函数f(x)的单调区间与极值点.【精彩点拨】求导后，对a进行分类讨论.【自主解答】f(x)3(x2a)(a0)，当a0时，f(x)0恒成立，即函数在(，)上单调递增，此时函数没有极值点.当a0时，令f(x)0，得x1，x2.当x变化时，f(x)与f(x)的变化如表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)f()f()因此，函数f(x)的单调递增区间为(，)和(，)，单调递减区间为(，)，此时x是f(x)的极大值点，x是f(x)的极小值点.利用导数求极值要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论，可从导数
10、值为0的点将定义域分成几个区间，逐一讨论各区间内的单调性，确定极值.再练一题3.设a为实数，函数f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线yf(x)与x轴有三个交点.【解】(1)f(x)3x22x1.令f(x)0，则x或x1.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值是fa，极小值是f(1)a1.(2)结合f(x)的单调性可知，当f(x)的极大值a0，且f(x)的极小值a10，即a1时满足条件，所以当a时，曲线yf(x)与x轴有三个交点.1.下列四个函数中，能在x0处取得极值的是()yx3
11、；yx21；ycos x1；y2x.A.B.C.D.【解析】为单调函数，不存在极值.【答案】B2.函数f(x)的定义域为区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图336所示，则函数f(x)在(a，b)内的极小值的个数为()图336A.1B.2C.3D.4【解析】在(a，b)内，f(x)0的点有A、B、O、C.要为函数的极小值点，则在该点处的左、右两侧导函数的符号满足左负右正，只有点B符合.【答案】A3.函数y348xx3的极小值是_；极大值是_.【解析】y3x2483(x4)(x4)，当x(，4)(4，)时，y0，x4时，y取到极小值131，x4时，y取到极大值125.【答案】13
12、11254.已知函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_.【解析】f(x)3x26ax3(a2)，函数f(x)既有极大值又有极小值，方程f(x)0有两个不相等的实根.36a236(a2)0.即a2a20，解之得a2或a1.【答案】(，1)(2，)5.函数f(x)x3ax2bxc的图象如图337所示，且与y0在原点相切，若函数的极小值为4，求a，b，c的值.图337【解】函数的图象经过(0,0)点，c0.又图象与x轴相切于(0,0)点，且f(x)3x22axb.f(0)0，即03022a0b，得b0.f(x)x3ax2.令f(x)x3ax20，得x0或xa，由图象知a0.令f(x)3x22axx(3x2a)0，当0xa时，f(x)a时，f(x)0.当xa时，函数有极小值4.即3a24，解得a3.a3，b0，c0.1
