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1、基础数学专业毕业论文 精品论文 二阶微分包含的边界值问题关键词：二阶微分 边界值问题 集值边界 不动点 单调算子 Yosida逼近 临界点 Sobolev空间摘要：二阶微分包含作为二阶微分方程与集值分析的交叉学科，在力学，工程学以及优化与控制理论中有着广泛的应用.下面举一个牛顿力学的例子。 考察在一个在外力f的作用下运动的质点m，由牛顿第二运动定律，其位移函数x(t)满足下面的方程mx”(t)=f(t,x(t),x'(t),这里外力f随时间t，以及t时刻的位移x，速度v=x'的变化而变化。 如果我们把质点m置于一个中心力场(引力场或电磁场)中，则外力f可以表示为
2、一个凸势的梯度，即f=C/x3x=(-Cx)=g(x)。 在很多情形下，质点m的运动不仅要受到一个中心力场的作用，还会受到其他力的影响，这种力的作用往往来自于很多方向，它的变化是随机的，不连续的，我们称之为扰动，这时该质点的运动状态只能用一个微分包含来描述mx”(t)g(x)+F(t，x(t)，x'(t)，其中，F(t，x(t)，x'(t)表示一个集值扰动。 如果这个扰动是可控的，即F=F(t，x(t)，x'(t)，u(t)，其中量u(t)被一个集值函数U(t，x(t)，x'(t)所控制.这样我们就得到一个反馈控制系统 近三十多年
3、来，作为一个新的数学分支，二阶微分包含越来越受到学者们的关注.罗马尼亚的V.Barbu，N.C.Apreutesei，美国的N.H.Pavel，希腊的N。S.Papageorgiou，意大利的F.Papalini，中国的S.Hu，法国的D. Motreanu以及加拿大的M. Frigon等学者先后研究了带有边界条件的二阶微分包含：这里，A是RN上的一个单调算子，F是满足一定条件的集值扰动，BC表示一个边界条件，它具有如下几种形式： (i)x(0)=z(b)=0,(Dirichlete型) (ii)x'(0)=x'(b)=0,(Neumann型) (iii)x(0
4、)=x'(b)=0，(混合型) (iv)x(0)=x(B)，x'(0)=x'(b)，(周期型) (v)(x'(0)，x'(b)(x(0)-，x(b)-).(集值型) 在边值问题的研究中，有一个重要的课题，那就是寻找落在给定集合C中的解.这个集合C被称为流不变集，下面是几种特殊的流不变集： (i)球，C=xC(T,RN),x(t)M,(M>0)， (ii)解管道，C=xC(T,RN),x(t)v(t)r(t),AtT， 这里，uC(T,RN),rC(T,R+)， (iii)序区间，C=xC(T,R),(
5、)(t)x(t)(t),AtT， 这里，(),C(T,R)。 为了解决这类问题，我们通常会采用截断与罚函数技术，得到一个辅助问题，利用逼近技术与不动点原理，可以证明该辅助问题的解是存在的.借助于先验估计，还可以证明这样得到的解一定落在流不变集中，从而是原问题的解， 近年来，许多学者把注意力集中在带p-Laplace(或类p-Laplace)算子的二阶微分系统上.在美国的J.Mawhin，智利的D. Manasevich以及中国的M。Zhang等工作的基础上，一系列具有高质量的文章涌现出来.这些工作集中讨论了p-Laplace算子的Fucik谱，共振及非共振条件，正解(或负解)以及符号变化的解，
6、得到了一批好的结果。 本篇论文主要研究二阶微分包含的边界值问题，根据所使用工具的不同，它大致可以分为两个部分，在第一部分，我们利用不动点原理与Yosida逼近研究带有单调项的集值边界问题.该部分共分三章。 第一章研究下面的模型：这里，:RNRN是一个类p-Laplace算子，集值扰动F满足Hartman型条件(见第一章H(F)1(iu)。 第二章，我们在解管道存在的假设下考虑半线性问题 第三章主要是研究非线性数值微分包含在这一章，我们总假设与之相应的上，下解是存在的。 为了研究这三个边值问题，我们利用截断函数(见(1.2.1)，(1.2.2)，(2.1.6)，(2.1.7)，(3.2.1)，(
7、3.2.2)，得到一个定义在函数空间上的变换，通过对的仔细研究，我们发现了函数x与它的截断函数x导数之间的内在联系(见(1.2.5)，(1.4.7)，(2.1.11)，(2.3.11)，(3.3.8)，这就使得我们能够在逼近方程两边施行对偶积，并得到逼近解的界.利用这一改进的方法，本文改进并推广了Papalini，Papageorgiou，Mawhin以及Frigon等人工作的部分结果。 本文的第二部分也分为三章.在第四章，我们继续研究边值问题这里，g(t,)是一族下半连续的真凸函数，边界条件是用凸函数的次微分表示的。解决这一问题的难点在于g(t,)的有效域是随t变化的，逼近解的界无法用上面的
8、方法得到，我们的讨论是围绕函数族g(t,)展开的.在一些合理的条件之下，我们证明了g(，)的Nemytskij泛函g仍是下半连续的真凸函数，其次微分等同于()g(t,)的Nemytskij算子.这样，再次利用不动点原理，我们解决了一类微分包含解的存在性问题，同时得到了一个Banach空间上极大单调算子的嵌入定理(见第四章，定理4.15)，该定理具有很高的理论和应用价值。 最后两章研究的是具有周期边界的二阶微分系统.通过在函数空间上引入合适的能量泛函，我们把解的存在性问题转化为一个求能量泛函临界点的问题， 这里有两个模型，第五章处理的是第一个模型对于这一模型，我们定义泛函=()+，这()是从函数
9、族g(t,)导出的凸泛函，是一个与f(t,)相关的局部Lipschitz泛函.利用广义PS-条件以及最小作用原理，我们证明了下面问题的解是存在的，它仍被称为泛函的临界点，这一模型在边值问题中有更广泛的应用.第五章的结果还可以抽象出来，作为临界点理论的一个补充(见第五章，定理5.10)。 最后一章讨论的模型二也是一个数值微分包含，我们的讨论集中在弱AR条件上(见H(f)(iu)，运用非光滑C-条件以及非光滑形式的山路引理，我们证明了模型二的正解的存在性，这是第一次在周期问题中讨论弱AR条件.在第六章的最后，多解及同宿解的存在性也一并加以讨论， 综上所述，在这篇文章中，我们研究了二阶微分包含的边界
10、值问题.以集值分析，凸分析与非光滑分析以及临界点理论为理论根据，本文研究了几类模型的解的存在性及多样性，引入并讨论了两个新的模型(第四、五章).这项工作推广了Papageorgiou，Papalini以及Frigon等学者的部分研究成果，其试用的方法可供这一领域的其他研究者借鉴。正文内容 二阶微分包含作为二阶微分方程与集值分析的交叉学科，在力学，工程学以及优化与控制理论中有着广泛的应用.下面举一个牛顿力学的例子。 考察在一个在外力f的作用下运动的质点m，由牛顿第二运动定律，其位移函数x(t)满足下面的方程mx”(t)=f(t,x(t),x'(t),这里外力f随时间t，以及t时刻
11、的位移x，速度v=x'的变化而变化。 如果我们把质点m置于一个中心力场(引力场或电磁场)中，则外力f可以表示为一个凸势的梯度，即f=C/x3x=(-Cx)=g(x)。 在很多情形下，质点m的运动不仅要受到一个中心力场的作用，还会受到其他力的影响，这种力的作用往往来自于很多方向，它的变化是随机的，不连续的，我们称之为扰动，这时该质点的运动状态只能用一个微分包含来描述mx”(t)g(x)+F(t，x(t)，x'(t)，其中，F(t，x(t)，x'(t)表示一个集值扰动。 如果这个扰动是可控的，即F=F(t，x(t)，x'(t)，u(t
12、)，其中量u(t)被一个集值函数U(t，x(t)，x'(t)所控制.这样我们就得到一个反馈控制系统 近三十多年来，作为一个新的数学分支，二阶微分包含越来越受到学者们的关注.罗马尼亚的V.Barbu，N.C.Apreutesei，美国的N.H.Pavel，希腊的N。S.Papageorgiou，意大利的F.Papalini，中国的S.Hu，法国的D. Motreanu以及加拿大的M. Frigon等学者先后研究了带有边界条件的二阶微分包含：这里，A是RN上的一个单调算子，F是满足一定条件的集值扰动，BC表示一个边界条件，它具有如下几种形式： (i)x(0)=z(b)=0,(Dir
13、ichlete型) (ii)x'(0)=x'(b)=0,(Neumann型) (iii)x(0)=x'(b)=0，(混合型) (iv)x(0)=x(B)，x'(0)=x'(b)，(周期型) (v)(x'(0)，x'(b)(x(0)-，x(b)-).(集值型) 在边值问题的研究中，有一个重要的课题，那就是寻找落在给定集合C中的解.这个集合C被称为流不变集，下面是几种特殊的流不变集： (i)球，C=xC(T,RN),x(t)M,(M>0)， (ii)解管道，C=xC(T,R
14、N),x(t)v(t)r(t),AtT， 这里，uC(T,RN),rC(T,R+)， (iii)序区间，C=xC(T,R),()(t)x(t)(t),AtT， 这里，(),C(T,R)。 为了解决这类问题，我们通常会采用截断与罚函数技术，得到一个辅助问题，利用逼近技术与不动点原理，可以证明该辅助问题的解是存在的.借助于先验估计，还可以证明这样得到的解一定落在流不变集中，从而是原问题的解， 近年来，许多学者把注意力集中在带p-Laplace(或类p-Laplace)算子的二阶微分系统上.在美国的J.Mawhin，智利的D. Manasevich以及中国的M。Zhang等工作的基础上，一系列具有高
15、质量的文章涌现出来.这些工作集中讨论了p-Laplace算子的Fucik谱，共振及非共振条件，正解(或负解)以及符号变化的解，得到了一批好的结果。 本篇论文主要研究二阶微分包含的边界值问题，根据所使用工具的不同，它大致可以分为两个部分，在第一部分，我们利用不动点原理与Yosida逼近研究带有单调项的集值边界问题.该部分共分三章。 第一章研究下面的模型：这里，:RNRN是一个类p-Laplace算子，集值扰动F满足Hartman型条件(见第一章H(F)1(iu)。 第二章，我们在解管道存在的假设下考虑半线性问题 第三章主要是研究非线性数值微分包含在这一章，我们总假设与之相应的上，下解是存在的。 为了研究这三个边值问题，我们利用截断函数(见(1.2.1)，(1.2.2)，(2.1.6)，(2.1.7)，(3.2.1)，(3.2.2)，得到一个定义在函数空间上的变换，通过对的仔细研究，我们发现了函数x与它的截断函数x导数之间的内在联系(见(1.2.5)，(1.4.7)，(2.1.11)，(2.3.11)，(3.3.8)，这就使得我们能够在逼近方程两边施行对偶积，并得到逼近解的界.利用这一改进的方法，本文改进并推广了Papalini，Papageorgiou，Mawhin以及Frigon等人工作的部分结果。
