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1、1.4 无穷级数1） 理解常数项级数收敛、发散以及和的概念，了解收敛级数的基本性质及收敛级数的必要条件2） 了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与p级数的敛散性，掌握正项级数的比值审敛法。3） 了解交错级数的莱布尼兹判别法，了解绝对收敛与条件收敛的概念及绝对收敛与级数收敛的关系。4） 了解幂级数的收敛域的结构以及和函数的概念，掌握简单幂级数的收敛半径，收敛区间的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。5） 掌握、的麦克劳林展开式，并会用间接法将一些简单的函数展开成幂级数。6） 了解傅立叶级数的概念，了解函数的傅立叶级数的收敛定理，会将周期为的函数展开为傅立叶级数，会将定义在上的函数展开为
2、正弦级数或余弦级数。1.4.1 数项级数1 常数项级数的概念和性质A、 常数项级数的概念数列的各项依次相加的表达式称为无穷级数，第项称为级数的一般项或通项，前项之和称为级数的部分和。若存在，称级数收敛，并称级数的和为；若不存在，则称发散。当级数收敛时，称为级数的余项，此时有：。B、 常数项级数的性质l 若，则（为常数）l 若， ，则l 收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原来的和l 在级数中改变有限项，不影响其收敛性l 若级数收敛，则，反之，不一定成立。C、 典型级数l 几何级数，当时，收敛于，当时，级数发散l 级数，当时，级数收敛，当时，级数发散注：几何级数2 常数项级数的审敛法A、 正项级数
3、审敛法若级数，其中 （），则称级数为正项级数l 收敛准则：正项级数收敛的充分必要条件是其部分和有界l 比较审敛法：设、为正项级数，对某个，当时，（为常数）。若收敛，则收敛；若发散，则发散。比较审敛法的极限形式：若，则当时，、同时收敛或同时发散。l 比值审敛法：设为正项级数，若，则当时，级数收敛；当或时，级数发散；当，级数可能收敛也可能发散。l 根值审敛法：设为正项级数，若，则当时，级数收敛；当或时，级数发散；当，级数可能收敛也可能发散。B、 任意项级数审敛法若级数，其中（）为任意实数，则级数为任意项级数。若级数的各项正负交替出现，即可写作（）或（），则称级数为交错级数。若级数为任意项级数，而级
4、数收敛，则称级数绝对收敛；若级数收敛，而发散，则称级数条件收敛。l 莱布尼兹判别法：若交错级数（）满足（）及，则级数收敛，且有余项（）注：=l 若任意项级数绝对收敛，则该级数收敛l 设为任意项级数，若（或），则当时，级数绝对收敛；当或时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散。注：数项级数的部分和有界是该级数收敛的必要条件。 在某些情况下（如，部分和有界，但级数不收敛）1.4.2 幂级数的概念1 幂级数的概念与性质A、 幂级数的概念称为幂级数，令，可化为B、 幂级数的收敛性关于幂级数的收敛性，有如下定理：定理（阿贝尔定理）若级数，当（）时收敛，则对适合的一切，级数绝对收敛；若级数，当时发散，则
5、对适合的一切，级数发散。设：收敛，则必有，于是存在常数，使得。当收敛，则收敛C、 幂级数的收敛半径及其求法：若幂级数在某些点收敛，在某些点发散，则必存在唯一的正数R，使当时，级数绝对收敛，当时，级数发散。这个R称为幂级数的收敛半径，若幂级数只在处收敛，则规定收敛半径R=0；若幂级数对一切x都收敛，则规定收敛半径。关于幂级数的收敛半径的求法，有如下定理：定理：对幂级数，若或，则它的收敛半径：D、 幂级数的性质若幂级数的收敛半径为R，则称开区间为为幂级数的收敛区间;根据幂级数在处的收敛情况，可以决定幂级数的收敛域（即收敛点的全体）是四个区间：之一。幂级数具有以下性质：l 幂级数的和函数在其收敛域上
6、连续l 幂级数的和函数在其收敛区间内可导，且有逐项求导，逐项积分公式。逐项求导、逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。2 泰勒级数A、 泰勒级数的概念若在处具有各阶导数，则幂级数称为函数在点处的泰勒级数，特别当时，级数称为函数的麦克劳林级数。B、 函数展开成泰勒级数的条件（泰勒中值定理）设函数在的某邻域内具有各阶导数，则在该邻域内能展开成泰勒级数（即的泰勒级数收敛于本身）的充分必要条件是的泰勒公式中的余项（）（其中）C、 函数展开成幂级数的方法l 直接法： 要把函数展开成的幂级数，可以按照下列步骤进行。n 第一步：求出的各阶导数、，如果在处的某阶导数不存在，就停止进行，例如在处，的
7、三阶导数不存在，它就不能展开为的幂级数。n 第二步：求函数及其各阶导数在处的值、n 第三步：写出幂级数并求出收敛半径R。n 第四步：考察当在区间内时余项的极限 （在0与之间）是否为零？如果为零，则函数在区间内的幂级数展开式为：（）l 间接法： 即利用一些已知的函数展开式、幂级数的运算（如四则运算，逐项求导，逐项积分）以及变量代换，将所给函数展开成幂级数，这种方法不但计算简单，而且可以避免研究余项。如将展开成的幂级数。利用将换成，得：又如，将展开成的幂级数。因为而将上式从0到积分，得：已知的幂级数展开式：对上式逐项求导，就得：D、 常用函数的幂级数展开式l l l l l 当时，有l l 注：证
8、明调和级数是发散的调和级数的部分和有：由此：而：因此，不存在，即调和级数发散。1.4.3 傅立叶级数1 傅立叶级数概念A、 三角函数系的正交性三角函数系：1、在区间上正交，就是指上述三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间上的积分等于零，即：（）（）（）（）（）B、 傅立叶系数和傅立叶级数设是周期为的周期函数，且下面公式中出现的积分：（）（）都存在，则系数叫做函数的傅立叶系数，级数叫做函数的傅立叶级数。C、 狄利克雷收敛定理设是周期为的周期函数，若它满足条件l 在一个周期内连续，或只有有限个第一类间断点l 在一个周期内至多只有有限个极限点则的傅立叶级数收敛，且当是的连续点时，级数收敛于；当是的间断点时，级数收敛于2 正弦级数和余弦级数A、 正弦级数若是周期为的奇函数，则它的傅立叶系数为：（）（）它的傅立叶级数是只含有正弦项的正弦级数B、 余弦级数若是周期为的偶函数，则它的傅立叶系数为：（）（）它的傅立叶级数是只含有余弦项的余弦级数
