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1、实验六 连续时间系统的复频域分析一、实验目的：1、熟悉拉普拉斯变换的物理意义及基本性质。2、掌握用拉普拉斯变换求解连续时间LTI系统的时域响应的方法。3、掌握系统函数的概念，掌握系统函数的零、极点分布(零、极点图)与 系统的稳定性、时域特性等之间的相互关系。4、掌握用MATLAB语言对系统进行变换域分析的编程方法。5、掌握用MATLAB求解拉普拉斯反变换的方法。二、实验原理：1、连续时间LTI系统的复频域描述除了时域描述系统的数学模型微分方程以外，描述系统的另一种数学模 型就是建立在拉普拉斯变换基础上的“系统函数( System Function)” H(s)：5.1Y(s) T系统冲激响应的
2、拉氏变换L卜(t)X(s) T系统激励信号的拉氏变换Ltx(t)系统函数H(s)的实质就是系统单位冲激响应h(t)的拉普拉斯变换。因此,系统函数也可以定义为：H(s)h(t)e-stdt。因此求系统函数的方法，除了按照定义式的方法之外,更常用的是对描述系统的线性常系数微分方程经过 拉氏变换之后得到系统函数H(s)。假设描述一个连续时间LTI系统的线性常系数微分方程为：迓a竺凹二艺b dkx (t)J dtkk=0k dtk5.2对 5.2 式两边做拉普拉斯变换，则有迓a skY(s)=k迟b skX(s)k艺b Sk即H (s) = -Y(s) =5.3x(s) ya skkk =05.3 式
3、说明，对于一个能够用线性常系数微分方程描述的连续时间 LTI 系统，它的系统函数是一个关于复变量 s 的有理多项式的分式，其分子和分 母的多项式系数与系统微分方程左右两端的系数是对应的。由此，可以很容 易的根据微分方程写出系统函数表达式，或者根据系统函数表达式写出系统 的微分方程。系统函数H(s)大多数情况下是复变函数，因此，H(s)可以有多种表示形 式：(1) 直角坐标形式：H(s) = Re(s) + jIm(s)k M (s - z )(2) 零极点形式：H(s)= 亠円(s - p )ii=1(3) 部分分式和形式：H(s)=兰 上(假设NM，且无重极点)s-sk =0k根据所要分析的
4、问题的不同，可以采用不同形式的系统函数H(s)表达 式。在 MATLAB 中，是用系统函数的分子、分母多项式的系数向量来表示 H(s)。由于系统函数的分母、分子的多项式系数与系统微分方程左右两端的 系数是对应的，因此，此实验中各函数用到的向量 a、b 和前面实验中微分 方程左右两端的系数向量是相同的。2、应用拉普拉斯变换分析系统的主要内容(1) 求系统的频率响应；(2) 求系统的单位冲激响应；(3) 绘制系统函数的零极点图，判断系统的稳定性MATLAB中相应的复频域分析函数如下：H = freqs(b,a,w)：计算由系数向量b,a描述的系统的频率响应特性。返回 值H为频率向量w规定的范围内的
5、频率响应向量值。如果不带返回值H, 则执行此函数后，将直接绘制出系统的对数频率响应曲线(包括幅频特性曲 线和相频特性曲线)。H = impulse(b,a):求系统的单位冲激响应，若不带返回值，则直接绘制 响应曲线，带返回值则将冲激响应数值存于向量H中。注意：MATLAB总 是把由分子和分母多项式表示的任何系统都当作是因果系统。所以，利用 impulse ()函数求得的单位冲激响应总是因果信号。z,p,k = tf2zp(b,a):求系统函数的零极点，返回值z为零点行向量，p 为极点行向量，k为系统传递函数的零极点形式的增益。b为系统函数分子 多项式的系数向量，a为系统函数分母多项式系数向量。
6、x,y = meshgrid(xl,yl):在由xl，y1确定具体的区域范围内产生绘制s 平面图的区域。meshgrid(x,y,fs)：绘制系统函数的零极点曲面图。zplane(b,a)；系统的稳定性主要取决于系统函数的收敛域是否包含整个虚轴，因此要 根据系统的其他性质结合零极点图得出系统函数的收敛域，进而判断系统的 稳定性，而系统的因果性则取决于系统极点位置的分布。3、拉普拉斯反变换的计算 计算拉普拉斯反变换通常有长除法和部分分式展开法。 MATLAB 的内 部函数 residue( )可以实现部分分式的展开。例:已知某信号的拉普拉斯变换表达式为X (s)=-s 2 + 3s + 2求该信
7、号的时域表达式。解:由于题目没有指定收敛域，所以必须考虑所有可能的情况。为此， 可以先计算出该信号的拉普拉斯变换表达式的极点。很显然，X(s)有两个极 点，分别为 s = -l ， s = -2。在 MATLAB 命令窗口键入: b = l; a = l 3 2; r, p, k = residue (b, a)命令窗口立即给出计算结果为:r =-llp =-2-l根据r、p、k之值，可以写出X(s)的部分分式和的表达式为：X (s)=-丄 + 丄s + 2 s +1然后根据不同的收敛域，可写出X(s)的时域表达式x(t)。第一种情况为Res -2，则x(t)为左边信号，其数学表达式为x(t)
8、二 e-2tu(-t) 一 e-tu(-t)第二种情况为-2 Res -1，则x(t)为因果信号，其数学表达式为x (t) = -e -2tu (t) + e - tu (t)在这个例题中，函数residue()仅仅完成了部分分式展开的任务，至于反 变换的数学表达式还得结合收敛域的不同才能写出。如果X(s)的分子的阶数不小于分母的阶数，则k将不是一个空矩阵，例如，当x(s) = EZi时，在命令窗口中键入: b = 1 0 0 0; a = 1 3 2; r,p,k=residue(b,a) 则：r =8-1p =-2-1 k =1-3这里的k = 1 3，实际上是将X(s)做了一个长除法后，
9、得到的商的多项式。所以，根据上面的r、p、k的值，可写出X(s)的部分分式和的表达式为:X (s) = s - 3 +有关函数residue()的详细用法，可查阅MATLAB帮助文件。三、实验内容：已知某连续因果系统的微分方程为d3 y (t)d 2 y (t)dy (t)1 d2 x(t)+ 2+ 2+ y (t) = -+ x(t)a=1dt3dt2dta dt21、写出该系统的系统函数表达式。2、绘制该系统的幅度响应特性、相位响应特性曲线图，并判断该系统 具有何种滤波特性。3、绘制该系统的零极点图，判断该系统的稳定性。4、写出该系统的单位冲激响应 h(t)。5、选做：改变方程中的a值，分
10、别取0.6、0.8、4、16等不同的值，观 察a取不同的值时系统的幅度频率响应特性曲线的变化(带宽、过渡带宽和 阻带衰减等)，说明零点位置对系统滤波特性的影响。6、已知该系统的输入信号为x(t) = sin(t) + sin(8t)，要求输出信号y(t) = Ksin(t)， K为一个不为零的常数，根据5中不同a值得到的幅度频率响应曲线，选择一个 合适的 a 值使得本系统能够满足该滤波要求。实验结果：实验代码： a=1,2,2,1;b=0,1,0,1;w=0:0.001:10;H,w = freqs(b,a);subplot(221);plot(w,abs(H);title(系统的频率响应)subplot(222);plot(w,angle(H);title(系统的单位冲激响应)subplot(223)x,y = meshgrid(-2,2)z,p,fs = tf2zp(b,a)meshgrid(x,y,fs)zplane(b,a)title(零极图)实验截图：该系统是带通滤波特性。系统较稳定。系统函数X (s) =s-2+i/(s+l)-i/(s+0.5-0.866i)；单位冲激函数h (t) = (eA(-t)-(eA(-0.5+0.866i)+eA(-0.5-0.866i) u(t)
