《数列通项公式求法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列通项公式求法（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数列通项公式的求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强 的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解 数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列 类型的题目.例1.等差数列a 是递增数列，前n项和为S，且a , a , a成等比数列，S = a 2 .求 nn13955数列a 的通项公式.解：设数列a 公差为d (d 0)a2 = a a ，3 1 9d2 = a d1n* a ,a ,a成等比数列，即(a + 2d)2 = a (a
2、+ 8d) n1/ d 丰 0，11a =(1丁 S = a 2 5 a +551由得： a3 =，3 d =15533 3a =+ (n1) x= n5X4-d = (a + 4d )221139的关系，求数列a 的通项a可用公式nnn 5 5 5 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差(公比)后再 写出通项。 二、公式法若 已知数列的 前 n 项和 S 与 annf S n= 1a = 2nn 1例2.已知数列的前n项和S满足Sn解：由 a = S = 2a 1 n a = 11 1 1当 n 2 时，有 an = Sn Sa = 2 a + 2 x (一 1)n
3、 -1, nn 1a = 2 a + 2 x (一 1)n -2 n 1n 2=2a + ( 1)n, n 1 .求数列la 的通项公式。 nnn -11= 2(a-an -1/.a = 2n1 a + 2n1 x (1)+ 2n2 x (-1)2 + 2 x (一1-1n1=2n-1 + (1) n (2) n-1 + (2) n-2 + (2)21 (2) n-1=2 n-1 (1) n-32=2n-2 + (1)n-1 .32经验证a = 1也满足上式，所以a =2n-2 + ( 1)n-1 1n 3第 1 页 共 16 页f S n = 1点评：利用公式a =J n求解时，要注意对n分
4、类讨论，但若能合n I S S n 2nn 1写时一定要合并三、由递推式求数列通项法 对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等 比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1递推公式为a = a + f (n)n + 1n解法：把原递推公式转化为a a = f (n)，利用累加法(逐差相加法)求解。 n+1n(2004 全国卷 I.22)已知数列a 中，a = 1,且 a = a+ ( 1)k, a = a + 3k ,其中n12k2k12k +12kk = 1, 2,3,，求数列 的通项公式。P24 (styyj)例3.已知数列a 满足an11
5、2=a解：由条件知： an+1an n 2 + nn (n + 1)分别令n = 1,2,3,(n 1) ，代入上(a a ) + (a a )+ (a a ) + +(a a213243n1111111=(1一) + ( 一)+()+ +( )22334n1 n所以 a a =1-一nnn 11nn+1n1 1n+1得 (n 1) 个 等 式 累 加 之 ， 即1a =12类型2 ( 1)递推公式为a = f (n)an +1n解法：把原递推公式转化为an+1 = f (n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。an(2004 全国卷 I.15)已知数列a ，满足 a =1， a =a +2a +
6、3a + +(n1)a (n三2)，贝Ia 的 n1 n 123n 1n通项f1a = 2P24( styyj)例4.已知数列满足a =， an13n +1nan+1 n第2页共 16页解：由条件知-a n +1分别令n = 1,2,3,(n - 1)，代入上式得(n - 1)个等式累乘之，a2a1a3a2a4 a3123x x x234ana12)由 a= f ( n ) a 和 an1确定的递推数列la 的通项可如下求得:由已知递推式有a = f (n - 1)a，n -1=f (n 一 2)a ， ， a = fa依次向前代n- 221入，得a = f (n - 1) f (n - 2)
7、f (1)a，1简记为 a = (n f (k) a10(n 1, n f (k)=1)，这就是叠(迭)代法的基本模式。nk=1k =13)递推式： a = pa+ f (n )解法：只需构造数列b ，消去f (n )带来的差异.例5.设数列a ： a = 4, a =3a + 2n - 1, (n 2)，求 an1nn-1n解：设 b = a + An + Bnn则 a = b - An - Bnn将 a , a 代入递推式，得n n -1b 一 An 一 B = 3tb A(n 一 1) 一 B1+ 2n 一 1 nn -1= 3b - (3A - 2)n - (3B - 3A +1) n
8、-1A=1B = 1 A = 3 A - 2. n 3 )n - 1n - 2两式相 减得 a - a = 3(a - a ) + 2 转化 为 bnn-1n-1n- 2= pb + q 求n - 1之.例6.已知a = 3， a =a1n+13n + 2 n(n 1)，求 an解：a = 3(n - 1) - 1 3(“ 一 2) 一 1n 3(n-1)+2 3(n-2)+23x2-13x2+2 3+23 n 一 43 -7 .3 n 一 13n 一 46-2355-8类型 3 递推公式为 a = pan +1+ q （其中 p ，q 均为常数，(pq (p -1)工 0)。解法：把原递推公
9、式转化为：an+1一 t ） ，其中 tJ，再利用换元法转化为等1 一 p比数列求解。（2006.重庆.14）在数列a 中,a = 1, a = 2a + 3( n 1),则该数列的通项an +1n1P24(styyj)例7.已知数列中，a = 1 ,1an+1n +1n解：设递推公式 a = 2 a + 3 可以转化为n+1na t = 2 (a t)即 a = 2 a t t = 3 n + 1n故递推公式为 a + 3 = 2(a + 3)，令b = a + 3，则b = a + 3 = 4，且 n+r = n+r= 2 n +1n n n 1 1 b a + 3nn所以b 是以b =
10、4为首项，2为公比的等比数列，则b = 4 x 2n-1 = 2n+1 ,所以 n1na = 2 n +1 3 .n类型4递推公式为a = pa + qn (其中p,q均为常数，(pq (p - 1)(q - 1)工0)。 (或n +1na = pa + rq n ,其中 p， q, r 均为常数)n + 1n( 2006 全国 I.22 )(本小题满分 12 分)412设数列a 的前n项的和S = -a - -x 2“+1 + -， n = 1,2, 3,血 nn 3 n 33(I)求首项a与通项a ；P25 (styyj )1n解法：该类型较类型 3 要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两
11、边同除以qn+1，得:q n +1q q n q引入辅助数列 （其中b得：qnbn+1+丄再应用类型3的方法解决。 q例8.已知数列a 中,5,a6 n +11=a + (_)n+i，3 n 2解：在a = a +3nn+1()n + 1两边乘以2 n +1得:22n+i an+12=(2n a ) + 1 3n所以 an 2n2=b + 1 ,应用例7解法得：b 3b 11n = 3(_) n 一 2(_) ” 23，则 bn+12=3 一 2()n3类型 5 递推公式为 a= pa + qa （其中 p， q 均为常数）。 n+2解法：先把原递推公式转化为 a 一 sa= t（a 一 sa ）n +1nn+ 2n+1其中s, t满足s+t = p，再应用前面类型 3 的方法求解。st = 一 q2006.福建.理.22）（本小题满分14 分）已知数列a 满足a = 1, a1n + 1n).（I）求数列a 的通项公式；P26 （styyj）例9.已知数列ia 中，a = 1 , a = 2 ,a = a12 n+23n+21+ a ， n +13 n解：由a = a3n+21+ a+13可
