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1、第四章 解析函数的幂级数表示方法第一节 级数和序列的基本性质1、复数项级数和复数序列：复数序列就是：在这里，是复数，一般简单记为。按照是有界或无界序列，我们也称为有界或无界序列。设是一个复常数。如果任给，可以找到一个正数，使得当nN时,那么我们说收敛或有极限，或者说是收敛序列，并且收敛于，记作。如果序列不收敛，则称发散，或者说它是发散序列。令，其中a和b是实数。由不等式容易看出，等价于下列两极限式：因此，有下面的注解：注1、序列收敛（于）的必要与充分条件是：序列收敛（于a）以及序列收敛（于b）。注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列收敛于，或者说有极限点的定义用几何语言可以叙述为：
2、任给的一个邻域，相应地可以找到一个正整数，使得当时，在这个邻域内。注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。定义4.1复数项级数就是或记为，或，其中是复数。定义其部分和序列为：如果序列收敛，那么我们说级数收敛；如果的极限是，那么说的和是，或者说收敛于，记作，如果序列发散，那么我们说级数发散。注1、对于一个复数序列，我们可以作一个复数项级数如下则序列的敛散性和此级数的敛散性相同。注2级数收敛于的定义可以叙述为：，注3如果级数收敛，那么注4令，我们有 因此，级数收敛于的充分与必要条件是：级数收敛于a以及级数收敛于b
3、。注5关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数，例如下面的柯西收敛原理：定理4.2柯西收敛原理（复数项级数）：级数收敛必要与充分条件是：任给，可以找到一个正整数N，使得当nN，p=1,2,3,时，柯西收敛原理（复数序列）：序列收敛必要与充分条件是：任给，可以找到一个正整数N，使得当m及nN，对于复数项级数，我们也引入绝对收敛的概念：定义4.2如果级数收敛，我们称级数绝对收敛。非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛复级数收敛的一个充分条件为级数收敛注1、级数绝对收敛必要与充分条件是：级数以及绝对收敛：事实上，有注2、若级数绝对收敛，则一定收敛。例4.1当时，绝对收敛；并且有我们有，
4、当时，定理4.1如果复数项级数及绝对收敛，并且它们的和分别为，那么级数也绝对收敛，并且它的和为。2、复变函数项级数和复变函数序列：定义4.3 设在复平面点集E上有定义，那么：是定义在点集E上的复函数项级数，记为，或。设函数f(z)在E上有定义，如果在E上每一点z，级数都收敛于，那么我们说此复函数项级数在E上收敛于，或者此级数在E上有和函数，记作设是E上的复函数列，记作或。设函数在E上有定义，如果在E上每一点z，序列都收敛于，那么我们说此复函数序列在E上收敛于，或者此序列在E上有极限函数，记作注1、复变函数项级数收敛于的定义可以叙述为：注2、复变函数序列收敛于的定义可以叙述为：定义4.4如果任给
5、，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数，使得当时，有或 那么我们说级数或序列在E上一致收敛于或。注解1、和实变函数项级数和序列一样，我们也有相应的柯西一致收敛原理：定理4.5柯西一致收敛原理（复函数项级数）：复函数项级数在E上一致收敛必要与充分条件是：任给，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数，使得当，p=1,2,3,时，有柯西一致收敛原理（复函数序列）：复变函数序列在E上一致收敛必要与充分条件是：任给，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数，使得当时，有注2、一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法(优级数准则)：设在复平面点集E上有定义，并且设是一个收敛的正项级数。设在E上， 那么级数在E上
6、绝对收敛且一致收敛。这样的正项级数称为复函数项级数的优级数.定理4.6 设复平面点集E表示区域、闭区域或简单曲线。设在集E上连续，并且级数或序列在E上一致收敛于或，那么f(z)或在E上连续。定理4.7 设在简单曲线C上连续，并且级数或序列在C上一致收敛于或，那么或注1、在研究复函数项级数和序列的逐项求导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数和序列；注2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研究和函数与极限函数的解析性及其导数。定义4.5设函数在复平面C上的区域D内解析。如果级数或序列在D内任一有界闭区域（或在一个紧集）上一致收敛于或，那么我们说此级数或序列在D中内闭（或内紧）一致收敛于或。定理4.9
7、（魏尔斯特拉斯定理）设函数在区域D内解析，并且级数或序列在D内闭一致收敛于函数或，那么或在区域D内解析，并且在D内或证明：先证明在D内任一点解析，取的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作一条简单闭曲线C。由定理4.7以及柯西定理，因为根据莫勒拉定理，可见在U内解析。再由于是D内任意一点，因此在D内解析。其次，设U的边界即圆K也在D内，于是，对于一致收敛于。由定理4.7，我们有也就是因此，定理中关于级数的部分证明结束。对于序列，我们也先证明在D内任一点解析，取的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作一条简单闭曲线C。由定理4.7以及柯西定理，因为根据莫勒拉定理，可见在U内解析。再由于是D内任意一点
8、，因此在D内解析。其次，设U的边界即圆K也在D内，于是，对于一致收敛于。由定理4.7，我们有 也就是因此，定理中关于序列的部分证明结束。第二节 幂级数幂级数：本节研究一类特别的解析函数项级数，即幂级数其中z是复变数，系数是任何复常数。注1、这类级数在复变函数论中有特殊重要的意义；注2、一般幂级数在一定的区域内收敛于一个解析函数；注3、在一点解析的函数在这点的一个邻域内可以用幂级数表示出来，因此一个函数在某个点解析的必要与充分条件是，它在这个点的某个邻域内可以展开成一个幂级数。首先研究幂级数的收敛性，我们有阿贝尔第一定理：定理4.10(阿贝尔定理) 如果幂级数在收敛，那么它在内绝对收敛且内闭一致
9、收敛.证明：由于幂级数在收敛，所以有，因此存在着有限常数M，使得 。把级数改写成则有 其中已令由于级数收敛，所以此幂级数在满足的任何点 z绝对收敛且内闭一致收敛。推论4.11 若幂级数在发散,则它在以为心并通过的圆周外部发散.注1：与幂级数相对应，作实系数幂级数其中x为实数。则有设的收敛半径是R，那么按照不同情况，我们分别有：(1)、如果，那么当时，级数绝对收敛，当时，级数发散；（2）如果，那么级数在复平面上每一点绝对收敛；（3）如果R=0，那么级数在复平面上除去外每一点发散。证明：（1）先考虑的情形。如果，那么可以找到一个正实数，使它满足。由于级数在时绝对收敛，所以级数在时绝对收敛，从而它在
10、时也绝对收敛。如果，那么可以找到一个正实数，使它满足。假定级数在时收敛，那么级数在时也收敛，与所设相矛盾。（2）如果，则对任何实数x，级数都绝对收敛。如果，由于级数在时绝对收敛，所以级数在时绝对收敛，从而它在时也绝对收敛，由于的任意性，那么级数在复平面上每一点绝对收敛；（3）如果R=0，则对任何实数，级数都发散。若存在一个复数，使得收敛，则由定理4.10，当时，绝对收敛，即收敛，所以存在，使得收敛，与假设矛盾。注1、当时，对于，级数的敛散性不定。注2、和数学分析中一样，注解1中的称为此级数的收敛半径；而称为它的收敛圆盘。当时，我们说此级数的收敛半径是，收敛圆盘扩大成复平面。当R=0时，我们说此
11、级数的收敛半径是0，收敛圆盘收缩成一点。注3、因此，求的收敛半径的问题归结成求的收敛半径的问题。和数学分析中一样，常见情况下，可以用达朗贝尔法则或柯西法则求出。对于一般情况，则可用柯西-阿达马公式求出，因此，有下面的定理：定理4.12（柯西-阿达马公式） 如果下列条件之一成立：（1） （2） （3） 级数的收敛半径注1、公式中的l总是存在的。注2、（上极限的定义）已给一个实数序列。数满足下列条件：任给，（1）至多有有限个；（2）有无穷个，那么说序列的上极限是L，记作如果任给，有无穷个，那么说序列的上极限是，记作如果任给，至多有有限个，那么说序列的上极限是，记作注3、（柯西-阿达马公式的证明）设
12、，任取定z，使得。可以找到，使得。又由上极限的定义，存在着N0，使得当nN时从而因此级数在时绝对收敛。由于的任意性，得到此级数在内绝对收敛。另一方面，任取定，使得。可以找到，使得。又由上极限的定义，有无穷多个，满足，即满足因此级数在时发散，从而此级数在内发散。例4.2试求下列各幂级数的收敛半径R(1)(2)解 (1) (2),故注1、由柯西准则我们可以证明，复数项级数收敛的一个必要条件也是其通项趋近于0幂级数和的解析性定理4.13（1） 幂级数(4.5)的和函数在其收敛圆周内解析。（2） 在内，幂级数可以逐项求导至任意阶，即 (4.6)且其收敛半径与收敛半径相同。（3） （4.7）证明 由定理
13、4.10,幂级数在其收敛圆内内闭一致收敛于,而其各项 又都在平面上解析,故由定理4.9,本定理的(1)(2)部分得证.逐项求阶导数,得 注意到即得(4.7)注(1)本定理还有一条结论:级数(4.5)可沿内曲线C逐项积分,且其收敛半径与原级数相同.注(2)所有的幂级数(4.5)至少在中心是收敛的,但收敛半径等于零的级数没有什么有益的性质,是平凡情景.第三节 解析函数的泰勒展式定理4.14、设函数f(z)在区域内解吸圆盘含于那么在内，能展开成幂级数 (4.8)其中系数 (4.9)证明：设。以为心，在U内作一个圆，使z属于其内区域。我们有由于当时，又因为所以上式的级数当时一致收敛。把上面的展开式代入
14、积分中，然后利用一致收敛级数的性质，得其中，由于z是内任意一点，定理的结论成立。下面证明展式的唯一性设另有展式 由定理4.13(3)可知 故展式是唯一的.定理4.15 函数f(z)在一点解析的必要与充分条件是：它在的某个邻域内有定理4.14中的幂级数展式。(4.8)称为在点的泰勒展式, (4.9)等号右边的级数则称为泰勒级数.幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况定理4.16 如果幂级数 的收敛半径R0 且则在收敛圆周上至少有一奇点,即不可能有这样的函数存在,它在内与恒等,而在c上处处解析注(1)纵使幂级数在其收敛圆周上处处收敛,其和函数在收敛圆周上任然至少有一个奇点例4.3求在z=0的泰勒展式。解：由于，所以，因此同理，有由于在复平面上，以某些射线为割线而得的区域内，多值函数-对数函数和一般幂函数可以分解成解析分支，因此在已给区域中任一圆盘内，可以作出这些分支的泰勒展式。例4.4求的下列解析分支在z=0的泰勒展式：解：已给解析分支在z=0的值为0，它在z=0的一阶导数为1，二阶导数为-1，n阶导数为,因此，它在z=0或在|z|1的泰勒展式是：其收敛半径1。例4.5求的下列解析分支在z=0的泰勒展式（其中不是整数），。解：已给解析
