辅助角公式的推导

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1、)的推导辅助角公式asinbcosa2b2sin(在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化asinbcos为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等初了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法，教帅们总结出公式asinbcos=?a2b2sin()或asinbcosa2b2?cos()，让一.教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下1.引例例1求证：、3sin+cos=2sin(+)=2cos().63其证法是从右往左展开证明，也可以从左往右“凑”，使等式得到证明，并得出结论：可见，3sin+cos可以化为一个角的三角函数形式.一般地,asin+bcos是否可

2、以化为一个角的三角函数形式呢2.辅助角公式的推导cos),b2解:asin+bcos=、a2例2化asinbcos令Jb2=cosb,?a2b2=sin+cos贝Uasin+bcosb2(sincos=、,a2b2sin(+),(其中tanb)a令?a、a2=sin=cos,b2b2+cosasin为一个角的一个三角函数的形式.sincos)=a2b2cos(-）,（其中tan=b）b出.或由tan=一和(a,b)所在的象限来确定.a推导之后，是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两个问题：一是为什么要令a=cos,=sin?让学生费解.二是这种“规定”式的推,a2b2、a2b2导，学生

3、难记易忘、易错！二.让辅助角公式asinbcos2b2sin()来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些？这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我乂一次代2008级学生时，终于想出一种与三角函数的定义衔接乂通俗易懂的教学推导方法.首先要说明，若a=0或b=0时，asin函bcos已经是一个角的一个三角b2sincos图2数的形式，无需化简.故有abM0.1.在平面直角坐标系中，以a为横坐标，一为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示，则总有一个角，它的终边经过点P.设OP=r,r=a2b2,由三角函数的定义知bbsin=rJa2b2arcos=a,a2b2所以asin+bcos=ia2b2c

4、ossin、,a2b2sin().(其中tan2.若在平面直角坐标系中，以b横坐标，以a为纵坐标可以描点P(b,a)总有一个角P(b,a),设OP=r,则r=a2b2角函数的定义知sinb22asin+bcos=sab2sinsinb2coscosa2b2cos().(其中tan=弓)bOP=r=、A312=2.sin.3一,cos=22蹩3sincos=2cossin+2sincos=2sin().tan一2k,?八3sin6经过多次的运用，COS=2sin(同学们可以在教帅的指导下6，总结出辅助角公式asin+bcos=a2b2a(/a2b2sinb+一.Ja2b2cos)=a2b2sin

5、(),(其中tanb).或者aasin+bcos=a2b2sinb+一a2b2cos)=例3化3sincos为一个角的一个三角函数的形式解：在坐标系中描点设角的终边过点P,则a2b2cos(),(其中tan我想这样的推导，学生理解起来会容易得多更容易理解asin+bcos凑成、a2b2(?sin+bcos)的道理，以Va2b2Ja2b2及为什么只有两种形式的结果？sincos,ksin2si)2sin(n(P(-v3,1)在sincos&os)2(sincoscos2k)2sin().象限，OP=2,满足条件2ksin2sincos2(sin2sincoscos)2ocs5ocS2kocS)-

6、62k,k三.关于辅助角的范围问题2k.由诱导公由asinbcosa2b2sin()中，点P(a,b)的位置可知，终设满足条件的最小正角为1,则asinbcosa2b2sin(边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第会限、第三象限、第四象限).中i(0,2),tani小由tani2的大小asinbcosa2b2cos()、-ab2cos(22k.由诱导公式存），设满足条件的最小正角为2,则2的位置由sin2种cos2（0定,），tan注意：一般地,由tan2确定.b2:以后没有特别说明时，角1（或2）是所求的辅助角.四.关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式

7、.在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为asinbcosa2b2sin（i）的形式或asinbcosa2b2cos（2）的形式.可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理.2(sincoscossin)2sin(666例5化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式(1)3sincos7(2).2sin()6cos().63633sincos乜解：(1)2(吵cos)2在本例第（1）1），而取的是点P们可以取P（a,就更加万便.例6已知向量的值.sin(y)-cos(-)6363妊1.“Hsin(:)cos(-)32323sin()cosco

8、s()sin3333csin()33小题中，aJ3,b1,我们并没有取点3、b中至少有一个是负值时.我aP(J3,-（灵，1）.也就是说,b),或者P(i儿ar(sx(c(sin(x),0)，求函数h(x)=a解:h(x)cos2(x.)1cos(2x2)3.这样确定的角（或2）是锐角,o1)，cos_.?x弓)oo2的最大值及相应的xsin(x3)C0S(x3)2-sin(2x-)231s2cos(2xdinAxJ)22-2sin(2x2cos(2x222)2)2&2-cos(2xh(X)max211)12血这时2x1224.kZ.若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错，请读者一试.五.范曲1婀毗往彳偷相应图3此处，与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见是个难点？例7如图3,记扇OAB的中心角为45,半径为1,矩形PQMh内接于这个扇形，求矩形的对角线I的最小值.解：连结0M，设/AOM=.则MQsin,OQ=COS,OP=PN=sinPQ=OQ-OFCsinOSI2MQ2PQ2=sin2(cossin)21(sin2COS2)21Q0arctan22寻in(2)其中tan1(0,),1arctan-221arctan一?2I2min所以当V5|lmin2151arctan一时，矩形的对角线I的最小值为22