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1、3.3 n阶行列式教学目的：1、理解和掌握n阶行列式的定义和性质。2、能熟练地应用行列式的定义和性质来计算和证明有关的行列式。 教学内容：1、行列式的定义：任意取n2个数ay(i=1,2,n ；j=1,2,n,排成以下形式a 11a12a1na 21a 22a2n(1)an1an2a nn .(2)考察位于（1）的不 同的行与不同的列上的 n个元素的乘积。这种乘积可以写成下面的形 式：n个数码的任意a1 j i a2 j 2 anj n这里下标j1,j2,.,j n是1 , 2,，n这n个数码的一个排列。反过来，给了1）的不同的行与不同的列上的n个个排列，我们也能得出这样的一个乘积。因此，一切
2、位于（ 元素的乘积一共有 n!个。我们用符号(j 1 j 2j n )表示排列j1 j2j n的序数定义用符号ana12-a1 na21a22-a2nan1an2-ann1）的不同的行与不同的表示的n阶行列式指的是n!项的代数和，这些项是一切可能的取自（列上的n个元素的乘积a1j 1 a2j 2 & nj n 项a1j 1 a2j 2 & nj n符号为(-1),也就是说，当j1 j2是偶排列时，这一项的符号为正，当j1 j2是奇排列时，这一项的符号为负。一个n阶行列式正是前面所说的二阶和三阶行列式的推广。特别，当n=1时，一阶行列式a就是数a.例1我们看一个四阶行列式a00b0cd0D=0.
3、0ef0g00h根据定义，D是一个4! =24项的代数。然而在这个行列式里，除了acfh,bdeg,bcfg这四项外,其余的项都至含有一个因子0,因而等于0。与上面四项对应的排列依次是1234，1324，4321，4231。其中第一个和第三个是偶排列，第二个和第四个是奇排列。因此D=acfh-adeh+bdeg-bcfg.2、转置行列式：a11a12 -a1 n设D=a21a22 -a2ran1a n 2a nn如果把D的行变为列，就得到一个新的行列式aiiai2ainaiiai2ainD，=a21a22a2nan1an2a nnD叫做D的转置行列式。引理3.3.1从n阶行列式的第i 1 ,i
4、2 ,i,in行和第j1,j2,.,j n列取岀元素作乘积ai1 j1 ai2j2 a injn ,（3）这里i1i2 -in和j1j2.jn都是1,2,小这n个数码的排列。那么这一项在行列式中的符号是（s t1），s= （ i li2 i n），t= （ j ij 2.j n）.证如果交换乘积（3）中某个因子的位置，那么（3）的元素的第一个下标和第二个下标所成的排列同时经过一次对换。假定经过这样一次对换后所得的两个反序分别为 由定理3.2.2, s-s和t -t都是奇数。因为两个奇数的和是一个偶数，所以（ s）+（t -t是一个偶数。因此s +Ts+t同时是偶数或同时是奇数，从而（-1） =
5、 （-1） .另一方面，由定理 3.2.1，排列i1i 2n总可以经过若干次对换变为 次变换因子的次序，乘积（3）可以变为（4） a1k1a2k2a nkn ,这里 的一个排列。根据行列式的定义，乘积（4），因而乘积（3）的符目旦（12 “） =0.由上面的讨论可知（-1） s t= （-1） n（12.）讹你2.如）=（-1 ） 引理被证明。现在设a1k1a2k2a nkn是n阶行列式D的任意一项。这一项的元素位于 不同的列，所以位于D的转置行列式D的不同的行和不同的列，因而也是n（ k1k2k n）。s和t 那么s +)-(s+t)=(s -12n.因此，经过若干k 1k 2k n是n个数
6、码 号疋（-1）。然而n （k1k2.kn）。D的不同的行和 D的一项。由引理 3.3.1，这一项在D里和 在D里的符号都 是（-1）。反过来，D的任意一项也是 D的一项，并且 D中不同的两项显然也是D中不同的两项。因为 D与D的项数都是n!，所以D与D是带有相同符号的相同项的代数和，既D=D。于是有命题3.3.2行列式与它的转置行列式相等。 命题3.3.3交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。 证设给定行列式a11a12 .a1 nai1ai2 .aina j1aj2 .ajn日n1an2.ann亍与第j行得a11a12 .a1na j1a j2.ajnai1ai2.a inan1
7、a n2.a nnD=交换D的第ID i）。（旁边的i和j表示行的序数D的每一项可以写成1k1 a iki a jkj a nkn （5）因为这一项的元素位于。川勺不同的行和不同的列，所以它也是D1的一项。反过来，项也是D的一项，并且 D的不同项对应着。勺不同项。因此D与D1含有相同的项。D中的符号是（-1） n（k1.ki.kj.kn）。然而在D1中，原行列式的第i行变成第 成第i行,而列的次序并没有改变。所以由引理3.3.1，并注意到（1ji“）（5）在 d 中的符号是（1 ） n（1.j.i.n） n（k1 k2.kn） 1,八 n（k1k2.kn） 1因此（5 ）在D和D1中的符号相反
8、。所以 交换行列式两列的情形，可以利用命题 推论3.3.4如果一个行列式有两行（列） 命题3.3.5把一个行列式的某一行（列）行列式。证设把行列式 D的第i行的元素j行，第j行变 是一奇数，=（-1）D与D j的符号相反。3.3.2归结到交换两行的情形。完全相同，那么这个行列式等于零。的所有元素同乘以某一个数k，等于以数k乘这个an,ai2,，an乘以k而得到行列式D1。那么D1的第i行的元素是kaii,kai2,風.D的每一项可以写作D1中对应的项可以写作（6）在D中的符号与（7 ）在推论3.3.6推论3.3.7 推论 3.3.8 证设行列式同一个因子a iji a 帀a njn .a 1
9、ji （kaiji ）a njn = k a i ji a ji a njn.D1 中的符号都是（-1） n（j1j2.jn）。因此，D 1 =kD.(6)因此k，即一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。 如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是零，那么这个行列式等于零。 如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于零。D的第i行与第j行（i工j）的对应元素成比例。那么这两行的对应元素只差 1 aii =ka ji ,ai2=ka j2 ,，an=ka jn .a11a12 .a1na11a12 .a1 nai1ai2.ainka j1kaj2.k
10、a jnaj1a j2 .ajna j1aj2.a jnan1an2 .annan1an2.annD=k提到行列式符号的外边，于是得到一个有两行完全相同的行可以把公因子由推论列式；由推论3.3.4，这个行列式等于零。命题3.3.9设行列式D的第i行的所有元素都可以表成两项的和:3.3.6 ,D=bi1Ci1an1那么D等于两个行列式D 1与a12a1 nbi2ci2binCinan2annD 2的和，其中D 1的第i行的元素是b i1 ,bi2 ,，bn ,D 2的第i行i1 i2 -的元素是ci1 ,ci2 ,cin，而D 1与D 2的其它各行都和D的一样。同样的性质对于列来说也成立。（.
11、. - ） 证 D的每一项可以写成a1j1 - （biji +ciji ）anjn的形式，它的符号是（一 1） 也人.去掉括弧，得 a1j1 （bij1+Cij1 ） anjn=a1j1 biji anjn+a1j1 Ciji anjn.但一切项aijlbijiCnj n附以原有符号后的和等于行列式a11a12 .a1nD1=bi1bi2.b-Minan1an2 .ann一切项a1j1 c帀a njn附以原有符号后的和等于行列式a12 .a1nD2 =Q2.Cinan1an2ann因此D=D 1+D 2 .命题339 显然可以推广到第i行（列）的元素是 m项的和的情形（命题3.3.10把行列式
12、的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）m 2）.的对应元素上，行列式不变。证设给定行列式a11a12.a1 nD=a21a22.a2 nan1a n 2.ann把D的第j行的元素乘以同一数a11k后，加到第i行（i j）的对应元素上,我们得到行列式ai1 ka j1D=.ai2 ka j2ainkajnaj1aj2ajnannan1a n2由命题 3.3.9 D =D+D1此处a11a12. a1nka j1 ka j2kajnaj1 a j2a jnan1 a n2annD1的第i行与第j列成比例；由推论 3.3.8， D1=0。所以D =D. 我们给岀两个利用行列式的性质来简化行列式计算的例子。例2计算行列式1 a2a13a11 a22a23a21 a32a33a3D =根据命题3310,从D的第二列和第三列的元素减去第一还不错的对应的元素 )，得列的元素同乘以-1后加到第二列和第三列的对应元素上3.3.8, D=0.(即把D的第例3计算n阶行列式0111
