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1、 抛物线性质归纳、证明和应用抛物线是平面内到定点的距离等于到定直线（定点在定直线外）的距离的点的轨迹，它是椭圆过渡到双曲线的瞬间曲线，它只有一支（双曲线有两支），只有一条对称轴，没有渐近线和对称中心，属于无心曲线抛物线的焦半径、焦点弦性质丰富多彩，此外还有定点、定值、定弦、最值等问题也值得探讨，抛物线的许多性质也是历年高考的重点和热点，这里就它的一些性质加以归纳，说明和证明，及其在历年高考和模拟考试出现的典例一、焦半径、焦点弦性质如图，AB是过抛物线 y22px（p0）焦点F的弦，AD、BC是准线的垂线，垂足分别为D、C，M是CD的中点，N是AB的中点设点A(x1，y1)、点B(x2，y2)，
2、直线AB交y轴于点K(0，y3)，则：K(0，y3)CMDB(x2，y2)ROF( ，0)A(x1，y1)xyHGxqNQ y1y2p2； x1x2； ； | AB |x1x2p （q为AB的倾斜角）； SOAB，S梯形ABCD. ； AMBDFCRt； AM、BM是抛物线的切线； AM、BM分别是DAB和CBA的平分线； AM、DF、y轴三线共点，BM、CF、y轴三线共点； A、O、C三点共线，B、O、D三点共线； 若| AF |：| BF |m：n，点A在第一象限，q为直线AB的倾斜角. 则cos q ； 以AF为直径的圆与y轴相切，以BF为直径的圆与y轴相切；以AB为直径的圆与准线相切.
3、 MN交抛物线于点Q，则，Q是MN的中点. y1y2p2； x1x2； | AB |x1x2p （q为AB的倾斜角）；SOAB，S梯形ABCD.【证明】设过焦点F(，0)的AB的直线方程为xmy，代入抛物线方程y22px得 y22pmyp20，因此CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF( ，0)q图1 y1y2p2，y1y22pm.另由得在RtCFD中，FRCD，有| RF |2| DR | RC |，而| DR | y1 |，| RC | y2 |，| RF |p，且y1 y20y1y2p2. 又点A、B在抛物线上，有x1，x2，因此x1x2. ，在直线AB方程xmy中令x0，得y3
4、，代入上式得【证法一】根据抛物线的定义，| AF | AD |x1，| BF | BC |x2， | AB | AF | BF |x1x2p又| AB | y2y1 | 2p(1m2)当m0时，m，有1m21（k为直线AB的斜率）CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOqA1B1F图2当m0时，q90，1m21也满足1m2| AB |2p(1m2) .【证法二】如图2，过A、B引x轴的垂线AA1、BB1，垂足为A1、B1，那么| RF | AD | FA1 | AF | AF |cosq，| AF |同理，| BF | AB | AF | BF | .【证法三】极坐标法，设抛物线的极坐标方
5、程为r，则| AF |r1 ，| BF |r2 .| AB | AF | BF | .SOABSOAFSOBF| OF | y1 | OF | y1 |(| y1 | y1 |)y1y2p2，则y1、y2异号，因此，| y1 | y1 | y1y2 |SOAB| y1y2 | .又| CD | AB |sinq ，| AD | BC | AB |.S梯形ABCD(| AD | BC |)| CD |.【例1】（2001年新课程高考文）设坐标原点为O，抛物线y22x与过焦点的直线交于A、B两点，则（ ）A. B. C. 3D. 3【解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2y1y2p2
6、，故选B.【例2】（2009年福建理）过抛物线y22px（p0）的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p .【解】由性质得| AB |8，p4. 【证法一】由x1x2，且| AF |x1，| BF |x2. 【证法二】由| AF |r1 ，| BF |r2 . 【例3】（2000全国）过抛物线yax2（a0）的焦点F用一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（ ）A. 2a B. C.4a D. 【解】由yax2得x2 y，（抛物线焦点到准线的距离为），由此得4a，故选C.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFENM图3 A
7、MBDFCRt，先证明：AMBRt【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图3，则ADMECM，| AM | EM |，| EC | AD | BE | BC | CE | BC | AD | | BF | AF | AB |ABE为等腰三角形，又M是AE的中点，BMAE，即AMBRt【证法二】取AB的中点N，连结MN，则| MN |(| AD | BC |)(| AF | BF |)| AB |，| MN | AN | BN |ABM为直角三角形，AB为斜边，故AMBRt.【证法三】由已知得C(，y2)、D(，y1)，由此得M(，).kAM，同理kBMkAMkBM1BMAE，即AMBRt.【
8、证法四】由已知得C(，y2)、D(，y1)，由此得M(，).CDBRAxyOF图41234M(x1，)，(x3，)(x1)(x2)x1x2(x1x2)()0，故AMBRt.【证法五】由下面证得DFC90，连结FM，则FMDM.又ADAF，故ADMAFM，如图412，同理34图5CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF( ，0)aaabbb2318090AMBRt.接着证明：DFCRt【证法一】如图5，由于| AD | AF |，ADRF，故可设AFDADFDFRa，同理，设BFCBCFCFRb，而AFDDFRBFCCFR1802(ab)180，即ab90，故DFC90CDB(x2，y2)
9、RA(x1，y1)xyOFM图6GHD1【证法二】取CD的中点M，即M(，)由前知kAM，kCFkAMkCF，AMCF，同理，BMDFDFCAMB90.【证法三】(p，y1)，(p，y2)，p2y1y20，故DFC90.【证法四】由于| RF |2p2y1y2| DR | RC |，即，且DRFFRC90 DRFFRCDFRRCF，而RCFRFC90DFRRFC90N1NMxyOF图7M1lDFC90【例4】（2009年湖北文）如图7，过抛物线y22px（P0）的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1，求证：FM1FN1CDB(x2，y2)RA(x1
10、，y1)xyOFM图8D1 AM、BM是抛物线的切线【证法一】kAM，AM的直线方程为yy1(x)与抛物线方程y22px联立消去x得yy1()，整理得y22y1y0可见(2y1)240，故直线AM与抛物线y22px相切，同理BM也是抛物线的切线，如图8.【证法二】由抛物线方程y22px，两边对x求导，得2y2p，故抛物线y22px在点A(x1，y1)处的切线的斜率为k切| yy1.又kAM，k切kAM，即AM是抛物线在点A处的切线，同理BM也是抛物线的切线.【证法三】过点A(x1，y1)的切线方程为y1yp(xx1)，把M(，)代入左边y1px1，右边p(x1)px1，左边右边，可见，过点A的
11、切线经过点M，即AM是抛物线的切线，同理BM也是抛物线的切线.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFENM图9 AM、BM分别是DAB和CBA的平分线【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图9，则ADMECM，有ADBC，ABBE，DAMAEBBAM，即AM平分DAB，同理BM平分CBA.【证法二】由图9可知只须证明直线AB的倾斜角a是直线AM的倾斜角b的2倍即可，即a2b. 且M(，)tanakAB.tanbkAM.tan 2btanaa2b，即AM平分DAB，同理BM平分CBA. AM、DF、y轴三线共点，BM、CF、y轴三线共点【证法一】如图10，设AM与DF相交于点G1，由以
12、上证明知| AD | AF |，AM平分DAF，故AG1也是DF边上的中线，G1是DF的中点.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM图10GHD1设AD与y轴交于点D1，DF与y轴相交于点G2，易知，| DD1 | OF |，DD1OF，故DD1G2FOG2| DG2 | FG2 |，则G2也是DF的中点.G1与G2重合（设为点G），则AM、DF、y轴三线共点，同理BM、CF、y轴也三线共点.【证法二】AM的直线方程为yy1(x)，令x0得AM与y轴交于点G1(0，)，又DF的直线方程为y(x)，令x0得DF与y轴交于点G2(0，)AM、DF与y轴的相交同一点G(0，)，则AM、DF、y轴三线共点，同理BM、CF、y轴也三线共点H由以上证明还可以得四边形MHFG是矩
