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1、3.3.2 利用导数研究函数的极值(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1下列是函数f(x)在a，b上的图象，则f(x)在(a，b)上无最大值的是()【解析】在开区间(a，b)上，只有D选项中的函数f(x)无最大值【答案】D2函数f(x)2，x(0,5的最小值为()A2B3C. D2【解析】由f(x)0，得x1，且x(0,1时，f(x)0，x1时，f(x)最小，最小值为f(1)3.【答案】B3函数f(x)ax3ax2x3有极值的充要条件是()Aa1或a0Ba1C0a1 Da1或a0【解析】f(x)有极值的充要条件是f(x)ax22ax10有两个不相等的实根，即4a24a0，解得a0或a1.故
2、选D.【答案】D4函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()A0a1 B0a1C1a1 D0a【解析】f(x)3x23a，令f(x)0得x2a.x.又f(x)在(0,1)内有最小值，01，0a1.故选B.【答案】B5已知函数f(x)ax3c，且f(1)6，函数在1,2上的最大值为20，则c的值为() 【导学号：25650131】A1 B4C1 D0【解析】f(x)3ax2，f(1)3a6，a2.当x1,2时，f(x)6x20，即f(x)在1,2上是增函数，f(x)maxf(2)223c20，c4.【答案】B二、填空题6函数f(x)aln xbx23x的极值点为x11，
3、x22，则a_，b_.【解析】f(x)2bx3，函数的极值点为x11，x22，x11，x22是方程f(x)0的两根，也即2bx23xa0的两根由根与系数的关系知解得【答案】27已知函数f(x)ax3bx2c，其导数f(x)的图象如图337所示，则函数的极小值是_图337【解析】由图象可知，当x0时，f(x)0，当0x0，故x0时，函数f(x)取到极小值f(0)c.【答案】c8设函数f(x)ax33x1(xR)，若对任意的x(0,1都有f(x)0成立，则实数a的取值范围为_【解析】x(0,1，f(x)0可化为a.设g(x)，则g(x).令g(x)0，得x.当 0x0；当x1时，g(x)0.g(x
4、)在(0,1上有极大值g4，它也是最大值，故a4.【答案】4，)三、解答题9已知函数f(x)ln x，求f(x)在上的最大值和最小值【解】f(x).由f(x)0，得x1.在上，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,2)2f(x)0f(x)1ln 2单调递减极小值0单调递增ln 2ff(2)2ln 2(ln e3ln 16)，而e316，ff(2)0.f(x)在上的最大值为f1ln 2，最小值为0.10已知函数f(x)(x1)ln xx1.若xf(x)x2ax1恒成立，求a的取值范围. 【导学号：25650132】【解】f(x)ln x1ln x，xf(x)xln x1，而x
5、f(x)x2ax1(x0)等价于ln xxa.令g(x)ln xx，则g(x)1.当0x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0，x1是g(x)的最大值点，所以g(x)g(1)1.综上可知，a的取值范围是1，)能力提升1设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()AxR，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的极小值点Cx0是f(x)的极小值点Dx0是f(x)的极小值点【解析】不妨取函数为f(x)x33x，则f(x)3(x1)(x1)，易判断x01为f(x)的极大值点，但显然f(x0)不是最大值，故排除A；因为f(x)x33x，f(x)3(x1)(x1)，
6、易知x01为f(x)的极大值点，故排除B；又f(x)x33x，f(x)3(x1)(x1)，易知x01为f(x)的极大值点，故排除C；f(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，由函数图象的对称性，可得x0应为函数f(x)的极小值点故D正确【答案】D2已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f(x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为()Af(a)g(a)Bf(b)g(b)Cf(a)g(b) Df(b)g(a)【解析】令u(x)f(x)g(x)，则u(x)f(x)g(x)0，u(x)在a，b上为减函数，u(x)在a，b上的最大值为u(a)f(a)g(a)【答案】A3已
7、知函数f(x)x33ax23bxc在x2处有极值，其图象在x1处的切线平行于直线6x2y50，则极大值与极小值之差为_【解析】f(x)3x26ax3b，f(x)3x26x，令3x26x0，得x0或x2，f(x)极大值f(x)极小值f(0)f(2)4.【答案】44设a为实数，f(x)ex2x2a，xR. 【导学号：25650133】(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.【解】(1)由f(x)ex2x2a，xR，知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)2(1ln 2a)故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln 21时，g(x)的最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.1
