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1、微积分下册常见六种积分考试重点二重积分、三重积分第一型曲线积分、曲面积分第二型曲线积分、曲面积分（2013年6月2日） 键入文字 三重积分 三重积分 二重积分/累次积分1） 在有界闭区域D上进行积分的积分符号；D Oxy平面上的有界闭区域，积分区域；f(x,y) 被积函数（其在D上连续才可积），比如可以是区域D的密度大小，也可以表示底面是D的曲顶柱体的高。2）d Oxy平面上微小区域面积，面积元素（d 微分； D中微小区域，微小曲顶柱体的底面积）。3）微小面质量=微小面密度微小面积；微小曲顶柱体面积=微小曲顶柱体高微小曲顶柱体底面长度；f(x,y)d 微小面质量或者微小面积，被积表达式。4）
2、曲面D的质量，曲顶柱体面积。此处应注意：f(x,y)0时，二重积分积分的现实意义才成立。5）6）二重积分的计算：化二重积分为二次积分三重积分1）在有界闭区域上进行积分的积分符号； Oxyz空间中的有界闭区域，积分区域，代表一几何体；f(x,y,z) 被积函数（其在上连续才可积），可以是区域的密度大小。2）dV Oxyz空间中微小区域体积，体积元素（d 微分，V 中的微小几何体）。3）微小体质量=微小体密度微小体积；f(x,y,z)dV 微小体质量，被积表达式。4） 几何体的质量。此处应注意：f(x,y,z)0时，三重积分积分的现实 意义才成立。5）6）三重积分的计算：化三重积分为三次积分2第一
3、型曲线积分第一型曲线积分又叫作对弧长的曲线积分，或数量值函数的曲线积分1）在线段L上进行积分的积分符号；L 当被积函数是二元函数时，其是Oxy平面上一条光滑曲线，当被积函数是三元函数时，其是Oxyz空间中一条光滑曲线；f(x,y,z) 被积函数，一函数值，比如可以是线L的密度大小，也可以表示底边是L的曲边梯形的高。2）ds 微小弧长（d 微分；s 微小线段，微小曲边梯形的底边长度）。3）微小线质量=微小线密度微小线长度；微小曲边梯形面积=微小曲边梯形高微小曲边梯 形底边长度；f(x,y,z)ds 微小线质量或者微小曲边梯形面积，被积表达式。4） 线质量，曲边梯形面积。此处应注意：f(x,y,z
4、)0时，第一型曲线积分的现实意义才成立。5）6）第一型曲线积分计算公式第一型曲面积分第一型曲面积分又叫作对面积的曲面积分，或数量值函数的曲面积分1)在有界光滑曲面上进行积分的积分符号；一空间有界光滑曲面；f(x,y,z) 被积函数，一函数值，比如可以是曲面的密度大小，也可以表示底面是的曲面体的高（有限制）。2）dS微小曲面面积（d 微分；S微小曲面）。3）微小曲面面质量=微小面密度微小面积；微小曲面体面积=微小曲面体高微小曲面体底面长度；f(x,y,z)ds 微小体质量或者微小曲面体体积（有限制），被积表达式。4） 面质量，曲面体体积（有限制）。此处应注意：f(x,y,z)0时，第一型曲线积分
5、的现实意义才成立，即使如此，其现实意义亦不明显。5）6）第一型曲面积分计算公式 若计算中须带入线方程，带入的方程应按上线方程的前四种形式之一带入，若计算中须带入面方程，带入的方程应按上面方程的后三种种形式之一带入，至于带哪一种形式，须看哪一种形式利于解题。比如，若线方程可以化为圆的形式，则常常采用圆的参数形式带入。再如，平面A截柱面B得的面，其方程不是二者联立解得的方程，因为其相交的部分是线而不是面，解得的方程是交线的方程；显然B的方程不能作为截得的面的方程，因为二者公共部分是一条线，而A包含截得的面，因而截得的面的方程可以用A的方程表示。注：二重积分与第一型曲面积分只是在积分区域上有差别。二
6、重积分，积分区域在Oxy面上，而第一型曲面积分积分区域在Oxyz空间中。第二型曲线积分第二型曲线积分又叫作对坐标的曲线积分，或向量值函数的曲线积分1）在有向线段上进行积分的积分符号； 当被积函数是二元函数时，其是Oxy平面上一条有向光滑曲线，当被积函数是三元函数时，其是Oxyz空间中一条有向光滑曲线；P(x,y,z)、Q(x,y,z) 、R(x,y,z) 被积函数，力的三个分向值。2）微小功=力微小线长度()；P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy +R(x,y,z)dz 微小功。3） 力在有向线段上做的功。4）两种曲线积分的关系5）第二型曲线积分计算公式第二型曲面积分第二型曲面积分又叫作
7、对坐标的曲面积分，或向量值函数的曲面积分1)在取定了侧的有界光滑曲面上进行积分的积分符号； 取定了侧的空间有界光滑曲面；P(x,y,z)、Q(x,y,z) 、R(x,y,z) 被积函数，场强的三个分向值。2）微小通量=场强微小面积()；P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx +R(x,y,z)dxdy 微小通量。3） 场在取定了侧的上的通量。4)两种曲面积分的关系5） 第二型曲线积分计算公式Green公式设平面闭区域D由分段光滑的曲线L围成，如果函数证明：公式左端直接展开按二重积分计算可化为右端的计算式，过程略。应用：在Green公式中，令P=-y，Q=x得平面曲线积分与路径无关的
8、条件设G是平面上的单连通域，如果，则下面四个条件等价：（1） 沿D内的任意一条光滑的闭曲线L，有（2） 曲线积分在D内与路径无关(此处L在D内任取，无须闭合)（3） 是D内某个二元函数u(x,y)的全微分，即在D内有（4） 在D内每点处成立证明：采用循环证法，过程略。注意：设G是平面上的单连通域，这两个条件是极为关键的。单连通域：平面区域内任意一条闭曲线所围成的部分都属于该区域复连通域：平面区域内存在至少一条闭曲线所围成的部分不属于该区域正向：沿闭曲线给定方向走，其所围区域在左手侧负向：沿闭曲线给定方向走，其所围区域在右手侧Gauss公式设平面闭区域由分段光滑的曲面围成，如果函Stokes公式设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分段光滑的有界曲面，的正向与的侧向符合右手规则，函数P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)在包含曲面的空间区域内有一阶连续的偏导数，则有特别地，若R(x,y,z)0，则依上式有Green公式注：当右手的四个手指依给定的绕行方向时，拇指所指的方向与指定侧的法向量的指向相同时，是指定侧的曲面的正向边界线。
