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1、第05讲多边形的内角和与外角和(核心考点讲与练)一. 三角形内角和定理(1) 三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且每 个内角均大于0且小于180.(2) 三角形内角和定理：三角形内角和是180.(3) 三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角.在转 化中借助平行线.(4) 三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数.直接根据两已知角求第三个角；依据三角形中角的关系， 用代数方法求三个角；在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.二三角形的外角性质(1) 三角形外角的定义：三角形的一
2、边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.(2) 三角形的外角性质： 三角形的外角和为360 . 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.(3) 若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质将它们转化到一个三角形中去.(4) 探究角度之间的不等关系，多用外角的性质，先从最大角开始，观察它是哪个三角形 的外角.三.多边形(1) 多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.(2) 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.(3)
3、 正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.(4) 多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：画多边形任何一边 所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧.每个内角的度数均小于180，通常所说的多 边形指凸多边形.(5) 重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状 态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心.常见图形的重心(1)线段：中点(2)平行四边形：对角线的交点(3)三角形：三边中 线的交点(4)任意多边形.四.多边形的对角线(1) 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.(2) n边形从
4、一个顶点出发可引出(n-3)条对角线.从n个顶点出发引出(n-3)条，而每 条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n (n-3) 2 (n3，且n为整数)(3) 对多边形对角线条数公：n (n-3) 2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个 邻点相连成对角线，故可连出(n-3)条.共有n个顶点，应为n (n-3)条，这样算出的数， 正好多出了一倍，所以再除以2.(4) 利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程 思想，解方程求n.五多边形内角与外角(1) 多边形内角和定理：(n-2)180(n3且n为整数)此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出
5、发引出(n-3)条对角线，将n边形分割为(n-2)个三角形，这(n-2)个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和.除此方法之和还 有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的.即将多边形转化为三角形，这也是研究多 边形问题常用的方法.(2) 多边形的外角和等于360. 多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，贝呦边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永 远为360 . 借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和=180 n-(n-2)180=360.六.平面镶嵌(密铺)(1) 平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接.彼此之 间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是
6、平面图形的镶嵌.(2) 正多边形镶嵌有三个条件限制：边长相等；顶点公共；在一个顶点处各正多边形 的内角之和为360 .判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能 构成360，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能.(3) 单一正多边形的镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形.(4) 两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等.（5）用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案.一.三角形内角和定理（共8小题）1. （2020春梁溪区期中）如图，
7、已知ABC中，ZA = 60, BD、BE三等分/ABC, CD、CE三等分/ACB，连接DE,则ZBDE= .2. （2021春徐州期末）如图，射线OX与射线OY互相垂直，点A、B分别在OX、OY上，连接AB. 若AP平分ZBAX, BP平分/ABY，求ZAPB的大小.3. （2021春江都区校级期中）如图，AD是ABC的BC边上的高，AE平分ZBAC,若ZB =42，ZC=72，求/AEC和/DAE的度数.4. （2021春广陵区校级期中）已知：如图1,在AABC中，CD是高，若ZA=ZDCB.圏1董2（1）试判断AABC的形状，并说明理由;（2）如图2, 若AE是ABC的角平分线，AE、
8、CD相交于点F.求证：ZCFE=ZCEF.5. （2021秋徐州期中）如图，在RtAABC中，ZBAC=90。，点D在边BC上，将AABD沿AD折叠，使点B恰好落在边AC上的点E处.若ZC=28，则ZCDE= .6. （2021春高邮市期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我 们称之为“倍角三角形”.如图，A4BC中, ZACB=90，点P是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CP.（1） 当ZB=72。时; 若ZCPB=54，则AACP “倍角三角形”（填“是”或“否”）； 若 BPC是“倍角三角形”，求ZACP的度数；求ZBCP的度数.7. （2021秋邗江区期中
9、）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这个三角形为特异三角形若AABC是特异三角形，ZA = 36,ZB为钝角，则符合条件的ZB度数为.8. (2021春江都区期中)图，ZMON=90,点A, B分别在OM, ON上运动(不与点O重(1) 若BC是ZABN的平分线，BC的反向延长线与ZBAO的平分线交于点D. 若ZBAO=60，则ZD= ； 猜想:ZD的度数是否随A, B的运动而发生变化？并说明理由；(2) 若 ZABC=ZABN,ZBAD=ZBA O,求ZD 的度数；_ _(3) 若将 “ZMON=90 ” 改为 “ZMON=a (0VaV180)”，ZABC=2znABN
10、,ZBAD=ZBAO,其余条件不变，则ZD= (用含a, n的代数式表示).n二. 三角形的外角性质（共6小题）9. （2021 东台市模拟）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中/曲勺度数是（）B. 75C. 110D. 12010.（2021 镇江一模）如图，ABC中，ZA=45,ZB = 30，直尺的一边与BC平行，则OZ1 =11. （2021 秋港南区期中）如图，ZBDC=110，ZC=38，ZA = 35，ZB的度数是)(C. 37D. 4712. （2021秋黄石期末）如图，AABC的内角ZABC的平分线BP与外角ZACD的平分线CP交于点P，连接AP,若ZBPC=46，则 Z
11、CAP=13. （2021春邗江区校级期末）如图，在ABC中，ZB = 90, D是BC上一点，AE平分ZDAC.（1）若ZADC=116，ZC=26，求/BAE的度数.（2）若ZADC=m，ZC=n，请探求ZBAE的度数与ZADC、ZC度数之间的关系（用含m、n的代数式表示）.14. (2021春广陵区校级期中)【概念认识】如图，在ZABC中，若ZABD=ZDBE=ZEBC,则BD, BE叫做ZABC的“三分 线”.其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”.C【问题解决】(1) 如图，ZABC=60, BD，BE是/ABC的“三分线”，则ZABE= ；(2) 如图，在ABC中，Z
12、A = 60，ZB=45，若ZB的三分线BD交AC于点D,则ZBDC= ；(3) 如图，在ABC中，BP、CP分别是ZABCAB三分线和ZACB令EAC三分线，且BP 丄CP,求ZA的度数；【延伸推广】(4) 在AABC中，ZACD是AABC的外角,ZB的三分线所在的直线与ZACD的三分线所 在的直线交于点P.若ZA=m,ZB=n，直接写出ZBPC的度数.(用含m、n的代数 式表示)三. 多边形（共1小题）15. （2021春广陵区校级期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD,使其不变形，这种做法的根据是（）A BA. 三角形的稳定性B. 长方形的对称性C. 长方形的四个
13、角都是直角D. 两点之间线段最短四. 多边形的对角线（共2小题）16. （2017江阴市自主招生）四边形ABCD内部有1000个点，以顶点A、B、C、D、和这1000个点能把原四边形分割成n个没有重叠的小三角形，则个数n的值为（）A. 2002B. 2001C. 2000D. 100117. （2021春大丰区月考）从一个多边形的任何一个顶点出发都只有5条对角线，这个多边形的对角线有条.五多边形内角与外角（共7小题）18. （2019春水城县期末）下列角度中，不能成为多边形内角和的是（）A. 600B. 720C. 900D. 108019. （2021春江都区期中）下列哪个度数不可能是一个多
14、边形的内角和（）A. 360B. 600C. 900D. 180020. （2021春江都区校级月考）一个多边形的内角和大于1100，小于1300，这个多边形 的边数是（ ）A. 6B. 7C. 8D. 921. （2021 仪征市一模）如图是第四套人民币1角硬币，该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为 .22. （2021秋青山区期末）若一个多边形的每个外角都等于72，则这个多边形是（）A.四边形B.七边形C.六边形D.五边形23. （2021秋秦淮区期中）如果一个多边形的每个内角都是144,那么这个多边形的边数是 （ ）A. 5B. 6C. 10D. 1224. （2019秋崇川区校级月考）已知某多边形的内角和与外角和之比为9： 2,求这个多边形 的边数和对角线的条数.六.平面镶嵌（密铺）（共1小题）25. （2021秋工业园区期末）某休闲广场的地面中间是1块正六边形地砖，周围是用正方形和正三角形地砖按如图方式依次向外铺设10圈而成，其中第1圈有6块正方形和6块正三角形地 砖，则铺设该广场共用地砖块.疋分层提分题组A基础过关练一.选择题（共7小题）1. （2021 连云港）正五边形的内角和是（）A. 360B. 540C. 720D. 9002. （2021 柳南区校级模拟）一个正多边形
