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1、常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题 20131参考公式： 样本数据， ，的方差，其中=一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相对应位置上1 设集合，若，则实数的值为 2 已知复数（为虚数单位），计算：= 3 已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率的值为 4 根据右图所示的算法，可知输出的结果为 5 已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品某人在这次拍卖中随机买入了一幅画，则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为 6 函数的最小正周期为 7 函数的值域为 8 已知点和点在曲线C：为常数上，若曲线在点和点处的切线互相平行，则 9 已知向量，
2、满足，则向量，的夹角的大小为 10 给出以下命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，所有真命题的序号为 11 已知函数f(x)，若关于x的方程f(x)kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 12 已知数列满足，则= 13 在平面直角坐标系中，圆：分别交轴正半轴及轴负半轴于，两点，点为圆上任意一点，则的最大值为 14已知实数同时满足，则
3、的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）已知均为锐角，且， （1）求的值； （2）求的值16（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，ADAB，CDAB， ，直线PA与底面ABCD所成角为60，点M、N分别是PA，PB的中点（1）求证：MN平面PCD；（2）求证：四边形MNCD是直角梯形；（3）求证：平面PCB 17（本小题满分14分）FEbaBDCA第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD，a，b为常数且满足.
4、组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块建游客休息区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为（），如图设，的面积为（1）求关于的函数关系式；（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地块的面积最大，并求出的最大值18（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知分别是椭圆E:的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且. （1）求椭圆E的离心率；（2）已知点为线段的中点，M 为椭圆上的动点（异于点、），连接并延长交椭圆于点，连接、并分别延长交椭圆于点、，连接，设直线、的斜率存有且分别为、，试问是否存有常数，使得恒成立？若存有，求出的值；若不存有，说明理由
5、.19（本小题满分16分） 已知数列是等差数列，数列是等比数列， （1）若求数列和的通项公式；（2）若是正整数且成等比数列，求的最大值20（本小题满分16分）已知函数.（1）若a=1，求函数在区间的最大值;（2）求函数的单调区间；（3）若恒成立，求的取值范围2013届高三教学期末调研测试 数学（附加题） 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本考前须知及各题答题要求1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用本试卷第21题有A、B、C、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分第22、23题为必答题每题10分，共40分考试时间30分钟考试结束
6、后，请将答题卡交回.2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚4. 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔 2013121【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲如图，是的直径，是上的
7、两点，过点作的切线FD交的延长线于点连结交OAEBDFC于点. 求证：.B选修42：矩阵与变换 已知矩阵，若矩阵属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为求矩阵的逆矩阵C选修44：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，判断两曲线的位置关系D选修45：不等式选讲设，求证：【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 (本小题满分10分)袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，每次摸取1个球，取出的球不
8、放回，直到其中有一人取到白球时终止用X表示取球终止时取球的总次数（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X的概率分布及数学期望23(本小题满分10分)空间内有个平面，设这个平面最多将空间分成个局部. （1）求 ；（2）写出关于的表达式并用数学归纳法证明.2013届高三教学期末调研测试数学试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分10 2 3. 4. 5 62 7 8 9 10、 11 12 13 14 二、解答题：本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15解：（1），从而 又， 4分 6分（2）由（1）可得，为锐角， 10分 12分= 14分1
9、6证明：（1）因为点M，N分别是PA，PB的中点，所以MNAB2分因为CDAB，所以MNCD又CD 平面PCD， MN 平面PCD，所以MN平面PCD. 4分（2）因为ADAB，CDAB，所以CDAD，又因为PD底面ABCD，平面ABCD，所以CDPD，又，所以CD平面PAD6分因为平面PAD，所以CDMD，所以四边形MNCD是直角梯形8分（3）因为PD底面ABCD，所以PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，从而PAD= 9分 在中， 在直角梯形MNCD中， 从而，所以DNCN 11分在中，PD= DB=， N是PB的中点，则DNPB13分又因为，所以平面PCB 14分17解：（1）设，则
10、，整理，得3分 ， 4分（2）当时，在递增，故当时，；当时，在上，递增，在上，递减，故当时，.18解：（1），.，化简得，故椭圆E的离心率为.（2）存有满足条件的常数，.点为线段的中点，从而，左焦点，椭圆E的方程为.设，则直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，.，.从而，故点.同理，点.三点、共线，从而.从而.故，从而存有满足条件的常数，.19解：（1）由题得，所以，从而等差数列的公差，所以，从而，所以 3分（2）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，.因为成等比数列，所以设，则，整理得，.解得（舍去负根）.，要使得最大，即需要d最大，即及取最大值.，当且仅当且时，及取最大值.从而最大的，
11、所以，最大的 16分20解：（1）若a=1, 则 当时, ,， 所以在上单调增, . 2分 （2）因为， （）当时，则， 令，得（负根舍去）， 且当时，；当时， 所以在上单调减，在上单调增.4分（）当时，当时， , 令，得（舍），若，即, 则，所以在上单调增；若，即, 则当时，；当时，所以在区间上是单调减，在上单调增. 6分当时, ,令，得，记，若，即, 则，故在上单调减；若，即, 则由得，且，当时，；当时，；当 时，所以在区间上是单调减，在上单调增；在上单调减. 8分综上所述，当时,单调递减区间是 ，单调递增区间是；当时, 单调递减区间是，单调的递增区间是；当时, 单调递减区间是(0, )和
12、，单调的递增区间是和. 10分（3）函数的定义域为 由，得 *（）当时，不等式*恒成立，所以；（）当时，所以； 12分（）当时，不等式*恒成立等价于恒成立或恒成立令，则因为，所以，从而因为恒成立等价于，所以令，则再令，则在上恒成立，在上无最大值综上所述，满足条件的的取值范围是 16分2013届高三教学调研测试（二）数学（附加题） 参考答案OAEBDFC21、【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每题10分，共计20分 A选修41：几何证明选讲证明：连结OF因为DF切O于F，所以OFD=90所以OFC+CFD=90因为OC=OF，所以OCF=OFC 因为COAB于O，所以OCF+CEO=90 所以CFD=CEO=DEF，所以DF=DE因为DF是O的切线,所以DF2=DBDA所以DE2=DBDAB选修42：矩阵与变换解：由矩阵属于特征值6的一个特征向量为，可得6
