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1、1415A一、选择题（每题2分，共10分）(1) 极限( D )(A) . (B) . (C) . (D) 不存在.(2) 二元函数在点处的全微分存在是它在该点持续的( A )(A) 充足条件. (B) 必要条件. (C) 充足必要条件. (D) 既非充足也非必要条件.(3) 点是二元函数的( C ) (A) 极大值点. (B) 极小值点. (C) 驻点但不是极值点. (D) 不是驻点. 二、填空题（每题2分，共10分）(1) 极限 .1(2) 设二元函数，则 .三、计算题（每题5分，共20分）(1) 设，求，.(2) 设是由方程所拟定的隐函数，求和.(1) 解：，(2) 解：设，则，五、综合
2、题（每题10分，共20分）(1) 求函数的极值.(1) 解：， ， 解方程组得驻点：，. ，. 在点，；，因此是极小值. 在点，；，因此不是极值. 在点，；，因此不是极值.1314A一、填空题（每题2分，共10分） (2) 极限 .Key: 1.(3) 设二元函数，则 .Key: 二、选择题（每题2分，共10分）(1) 极限( C ) (A) . (B) . (C) . (D) 不存在.(2) 二元函数在点处的全微分存在是它在该点两个一阶偏导数都存在的( A )(A) 充足条件. (B) 必要条件. (C) 充足必要条件. (D) 既非充足也非必要条件.(3) 若在处获得极大值，令. 则 (
3、B ) (A) 在获得最大值. (B) 在获得极大值. (C) 是的驻点. (D) 以上都不对. 三、计算题（每题8分，共40分）(1) 设，求，和.(1) 解：， ，(2) 设是由方程所拟定的隐函数，求和.(2) 解：，1314B五、综合题（每题10分，共20分）(1) 求曲线上的点到坐标原点的最长距离与最短距离. (1) 解：设曲线上的点到坐标原点的距离的平方为， 令 解方程组得，考虑边界的点的函数值，因此最长距离是，最短距离是. 1314C(3) 设，而，求,.(3) 解：，五、应用题（每题10分，共20分）(1) 某公司在生产中使用甲、乙两种原料，已知甲和乙两种原料分别使用单位和单位可
4、生产单位的产品，且.已知甲原料单价为元/单位，乙原料单价为元/单位，产品每单位售价为元，产品固定成本为元，求该公司的最大利润.(1) 解：利润函数， 解方程组得.，.令，则，因此是极大值，也是最大值.0809 B一、填空题（每题3分，共18分）2、设，则其全微分 3、函数的所有间断点是 .二、选择题（每题3分，共15分）1、，则极限（ ）（A）不存在 （B）1 （C）2 （D）0A当点沿曲线趋向时，显然，当k取值不同是，极限也不相似。因此 不存在2、在曲线所有切线中，与平面平行的切线（ ）（A）只有一条； （B） 只有两条； （C）至少有3条； （D） 不存在曲线的切向量,平面的法向量,因此只
5、有一条切线满足条件.3、点是函数的（ ） （A）极值点；（B）.驻点但不是极值点；（C）是极值点但不是驻点；（D）以上都不对 分析: 令,得(0,0)是驻点,但点(0,0)是的鞍点,不是极值点.四、计算题（每题8分，共32分）1、设求和解 五、解答题（每题分10，共20分）1、要造一种容积为定数a的长方形无盖容器，如何设计它的尺寸才干使它的表面积最小？此时最小表面积为多少？解：设长方体的长宽高分别为则问题就是在条件下求函数 的最小值. 作拉格朗日函数 求其对的偏导数，并使之为零，得到 由于都不等于零， 得 代入,得这是唯一也许的极值点. 由问题自身可知最小值一定存在，因此最小值就在这个也许的极
6、值点处获得. 即长宽高为时, 最小表面积 0910B一、填空题（每题2分，共10分）2、设函数是由方程给出，则全微分 ,.3、曲面在点处的切平面方程为 .切平面得法向量切平面方程为二、选择题（每题2分，共10分）1、二元函数在点处可微是两个偏导数都存在的 （ ） （A）充足条件 （B）必要条件（C）充足必要条件 （D）既非充足又非必要条件.四、计算题（每题10分，共40分）1、设，而、，求:、解：，1011B一、填空题（每题3分，共15分）(1) 设二元函数，则 .(2) 旋转抛物面在点处的法线方程是 .法线的方向向量法线方程是.二、单选题（每题3分，共15分）(4) 设的全微分为 则点 (
7、C ) 不是的持续点； 不是的极值点； 是的极小值点； 是的极大值点.分析:,得,由,则点 是的极小值点.三、求偏导数（每题10分，共20分）（1）设，其中具有二阶持续偏导数.求 ；.解: (2)设是方程在点拟定的隐函数，求及 解:令 1分则 6分 ； 8分 10分六、应用题（本题满分10分）从斜边长为的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形，并求出最大周长.解：设另两边长分别为，则 ，周长 2分 设拉格朗日函数 4分 令 6分解方程组得为唯一驻点，且最大周长一定存在 8分故当时，最大周长为 10分1112B一、填空题（每题2分，共10分）1. 在点处的2. 设函数在点获得极值，则常数.,
8、因此例36设函数在处获得极值，试求常数a，并拟定极值的类型分析 这是二元函数求极值的反问题， 即懂得获得极值，只需要根据可导函数获得极值的必要条件和充足条件即可求解本题解由于在处的偏导数均存在，因此点必为驻点， 则有 ，因此有，即由于， ，因此，函数在处获得极小值二、选择题（每题2分，共10分）3. 在点处函数的全微分存在的充足条件为 （ ）(A) 均存在 (B) 持续 (C) 的所有一阶偏导数均持续 (D) 持续且均存在三、计算题（每题8分，共40分）1. 设是由方程所拟定的隐函数，计算的值.解:设 ，则， ，4. 求函数在点沿着从该点到点的方向导数.解 方向 , .五、证明题（每题7分，共
9、7分）证明在点偏导数存在，但不可微.证: ,.3分 当点沿曲线趋向时，.显然，当k取值不同是，极限也不相似。因此 不存在这表达当时, 1213B一、填空题（每题2分，共10分） (2) 极限 . 分子有理化(3) 设二元函数，则 .二、选择题（每题2分，共10分）(1) 设函数，则极限()(A) . (B) . (C) . (D) 不存在.当点沿曲线趋向时，显然，当k取值不同是，极限也不相似。因此 不存在 (2) 二元函数在点处的全微分存在是它在该点持续的()(A) 充足条件. (B) 必要条件. (C) 充足必要条件. (D) 既非充足也非必要条件.如果函数在一点可微分,则函数在该点持续三、
10、计算题（每题8分，共40分）(1) 设，求，和.解: (2) 设是由方程所拟定的隐函数，求和.解I： 用隐函数求导公式，解II： 将看作的函数，两边对求导，得：即，同理两边对求导得 解III： 将方程两边求全微分，得：，解出得：，将z看作的函数，继续求导，即得二阶偏导数：，四、应用题（每题10分，共20分）(1) 求旋转抛物面上垂直于直线的切平面方程.解: 令,任取旋转抛物面上一点，该点的法向量, 已知直线的方向向量由于所求平面的法向量与已知直线的方向向量平行,因此代入,得,因此所求的切平面方程为或.注:已知直线的方向向量也可以按下面的两种方式求1. 把当作是的函数，在方程组中对求导，得，解得
11、则方向向量2. 令，直线的方向向量， (2) 求函数在条件下的最大值与最小值. 解令，于是由解得即,为也许的极值点，也许的极值,从而所求函数的最大值是，最小值是.五、综合题（每题10分，共20分） (2) 设是定义在上的持续函数，是由圆和直线，所围成的区域在第一象限部分（，）. 记，求.解: 区域用极坐标表达0607高数A一、填空题（每题4分，共32分）一、 填空题（本题共5小题，每题4分，满分20分）1. 函数的定义域为 _.5. 曲面上点P(1,1,2) 处的切平面方程为 .切平面的法向量切平面方程或.二、单选题（本题共5小题，每题4分，满分20分）1. 考虑二元函数的下面4条性质： 若用表达可由性质推出性质，则有 A (A) ; (B ) ; (C) ; (D) .2. 坐标原点(0,0)是函数的 B (A) 既是驻点也是极值点； (B) 驻点但非极值点；(C) 极值点但非驻点；
