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1、学习必备欢迎下载三角函数公式大全及其推导1. 三角函数的定义Figure I由此，我们定义:女口 Figure I,在 AABC 中的正弦值:sin v -的余弦值:的正切值:cos 丁 cbtan 二的余切值:cot 二对边（斜边）邻边（斜边）对边（邻边）邻边（对边）的正割值:seer斜边（邻边）NT的余割值:csc -（斜边）（对边）备注：当用一个字母或希腊字母表示角时，可略写/符号，但用三个子母表cos、tan。示时，不能省略。在本文中，我们只研究sin、2. 额外的定义2 2sin v - (sin v)2 2cos T - (cos r)2 2tan v - (ta nr)3. 简便
2、计算公式basincosA=cos（90- 旳ccacossin A = sin（90、）bta n 丁 _ b = 11a a tan A tan（90、NB）bsin .2a b1c c2sin B si nA =1sin2 寸 cos2 丁 -1证完 v cos2 - -1证明:在 ABC中，ABC =90；2丄2a b cbcsin vacos vctan2仁冲兮cos J cos d1cos2 T4. 任意三角形的面积公式Figure II如 Figureii,absin C21acsin B （两边和其夹角正弦的乘积5. 余弦定理：任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和减对边的平方
3、之差与 两邻边积的两倍之比。证明：如 Figure II,b2 =d2 h22 2=(a -ccosB)(csin B)2 2 22 2=a -2accosB c cos B c sin B2 2 2 2=a -2accosB c (cos B sin B)2 2=a c -2accosB.2 2 2 2 2 . 2b a c a c -b二 cosB-2ac2ac证完6. 海伦公式证明：女口 Figure ii,1Sabc nabsinC=ab，、1 -cos C24ab1-2 2 2 * 2 a +b -c2ab-4 4422 22 21a b c 2a b -2a c -2b c4ab2
4、224.44小 2.222224a b -a -b -c -2a b 2a c 2b c4a2b2224,44222 22 24a2b21 z 2 4a b -a -b -c -2a b 2a c 2b c -a b44a2b21 2 2 _ a4 _b4 _c4 _2a2b2 _2a2c2 _2b2c2 a b4a b-c a-b c b c-a a b e16a b c-2c a b c-2b a b c-2a a b c7.正弦定理-a a b c2b a b cc 人 2s-a s-b s-cS.abc设：s=2如 Figure ill,c为AABC外接圆的直径,a* sin A =c
5、a.c2r （r为ABC的外接圆半径）sin A同理:bcc, c =sin BsinCa bsin A sin Bc 2r sin C8. 加法定理(1) 两角差的余弦Figure IV如 Figure IV,AOC =:BOC 二八AOB = /P令 AO=BO=r点A的横坐标为xA = r cos :-点A的纵坐标为yA = r sin点B的横坐标为xB = r cos :点B的纵坐标为yB =rsin 12 2 2AByA yB 亠Xa -Xb=r sin ：-rsin , j 亠 ircos ： - r cos： 2= r2sin21 r2sin2 ： -2r2sin： sin ：
6、r2cos2 r2cos2?2r2cos： cos - =r2 sin2 ：； ： sin2 ：2sin ： sin ： cos ：! cos 7 -2cos： cos :=r2 sin2 工cos2二-sin2 ； -cos : -2sin： sin ： 2cos： cos：=r21|1 1-2 sin ： sin ， cos： cos : I=r2 ”2 - 2 sin ： sin ： cos： cos : : I= 2r2 卩- sin： sin ： cos： cos ： : I由余弦公式可得:AB2 =AC2 BC2 -2AC BC cos ACB =r2 r2 2r rcos 工 .
7、 j =2r2 2r2 cos :- - . ?=r21|2 2cos :-: I= 2r2 卩- cos 工-l：, i综上得： cos ： - sin ： sin ： cos： cos :(2) 两角和的余弦cos ： = cos 卜-i - I i二 sin ： sin 亠 cos ： cos：L :=-sin ： sin ： cos ： cos :=cos： cos ： -sin ： sin :(3) 两角和的正弦sin- cos |90 -亠= cos90 -:-二 sin 90 - - sin ： cos 90 - : cos :二 cos ： sin “ sin ： cos :(
8、4) 两角差的正弦sin ： - - - sin | 亠I，i=cos ： sin ,厂 sin ： cos ：-:=-cos ： sin ,亠sin ： cos :=sin ： cos - - cos ： sin !：:;-(5) 两角和的正切osin(a + B )tan :cos(a + p)cos： sin sin ： cos :cos： cos ： -sin ： sin :cos： sin ； -sin ： cos :cosa cosPcos cos ： -sin ： sin :cost cos :sin ：sin :cos ：cos：1 sin ： sin :cos cos : t
9、an 工tan :1 -tan ： tan :(6)两角差的正切tan -二 tan 卜 T - itan 工tan - ：1 - tan ： tan - ：tan -tan :1 tan ： tan :9. 两倍角公式sin 2= sin : 7=sincos：亠sin jcosj=2sin _：cos 二cos 2:= cos :亠很 |=cos： cos： -sin ： sin : =cos1 sin戸亠卩亠sin工-l;, i : - sin2 :-2 2= 12si n2cos 1tan 2：=sin 2二cos 2 二2sin ： cos：= 22cos -sin :2sin :
10、cos：2_ COS Ct2. 2cossin :-2cos :-2sin :cos ：s.2sin :2cos -2ta n :1 -tan2:10. 积化和差公式sin -：cos :=1 -2sin -： cos -sin ： -cos-：sin :1sin 二 cos ： sin 一icos ： cos21COS ： cos2cos ： cos :1 _ _ _ _ cos： cos ,亠cos： cos ,亠sin ： sin - -sin ： sin :1COS 二亠.-厂 cos :,-：；sin 二 sin ：二 * 2sin _：isin :1sin ： sin ： sin
11、： sin ： cos： cos .：cos： cos -1cosy 亠卩 i- cos - -I11. 和差化积公式sin A sin B =sin 很亠 j 亠sin : -；=sin ： cos ： cos sin ： sin： cos ： -cos： sin :二 2sin ： cos :fa. +P +a - P(a= 2sin cos -+ P -a - P设：A=a + 3 , B= -0,12 丿IA B A-B =2sincos II 2丿J 2丿sin A-sin B =sin i 二亠卩 i- sin : - : i；=sincos ： cost sin ? -sin 二
12、 cos ： cost sin :二 2cos ： sin :fa + P -a + 0 ) sinlfa + P +ot - PI 2 c A+B= 2cos II 2sinBI 2=2cos.2丄 2 虫-cos sin 1设：cos。= $ a , sin a =( bJa2+b2Ja2+b2a sin v bsin r - . a b sin j 、a b costJa2 +b2Ja2 + b2二 一a2 b2 cos： sin v sin ： cost=一 a2 b2 sin :-二12. 其他常用公式sin 二 n 360 二 sinr cosF：； n 360 二 cost ta
13、n v n 360 = tanrsin 90 - j - costcos 90 - v - sin1tan 90 -v; ta n 日sin 90 j - costcos 90 v - -sin v1tan 90tan日sin v -90= -cos：cos v - 90= si nr1ta n - 90ta n日sin 180 - v - sin v cos 180 - v - -cosn tan 180 - v - - tan sin ： -180- -sin，cos ： -180- -costtan -180= tan rsin -J - -sinrcos -v -costtan -J - -tantan2n 190 不存在-仁 cos1二 cos)1一1 _sin 乞 1= sin 乞 113.特殊的三角函数值0。（0）151
