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1、学习必备欢迎下载三角函数公式大全及其推导1. 三角函数的定义Figure I由此,我们定义:女口 Figure I,在 AABC 中的正弦值:sin v -的余弦值:的正切值:cos 丁 cbtan 二的余切值:cot 二对边(斜边)邻边(斜边)对边(邻边)邻边(对边)的正割值:seer斜边(邻边)NT的余割值:csc -(斜边)(对边)备注:当用一个字母或希腊字母表示角时,可略写/符号,但用三个子母表cos、tan。示时,不能省略。在本文中,我们只研究sin、2. 额外的定义2 2sin v - (sin v)2 2cos T - (cos r)2 2tan v - (ta nr)3. 简便
2、计算公式basincosA=cos(90- 旳ccacossin A = sin(90、)bta n 丁 _ b = 11a a tan A tan(90、NB)bsin .2a b1c c2sin B si nA =1sin2 寸 cos2 丁 -1证完 v cos2 - -1证明:在 ABC中,ABC =90;2丄2a b cbcsin vacos vctan2仁冲兮cos J cos d1cos2 T4. 任意三角形的面积公式Figure II如 Figureii,absin C21acsin B (两边和其夹角正弦的乘积5. 余弦定理:任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和减对边的平方
3、之差与 两邻边积的两倍之比。证明:如 Figure II,b2 =d2 h22 2=(a -ccosB)(csin B)2 2 22 2=a -2accosB c cos B c sin B2 2 2 2=a -2accosB c (cos B sin B)2 2=a c -2accosB.2 2 2 2 2 . 2b a c a c -b二 cosB-2ac2ac证完6. 海伦公式证明:女口 Figure ii,1Sabc nabsinC=ab,、1 -cos C24ab1-2 2 2 * 2 a +b -c2ab-4 4422 22 21a b c 2a b -2a c -2b c4ab2
4、224.44小 2.222224a b -a -b -c -2a b 2a c 2b c4a2b2224,44222 22 24a2b21 z 2 4a b -a -b -c -2a b 2a c 2b c -a b44a2b21 2 2 _ a4 _b4 _c4 _2a2b2 _2a2c2 _2b2c2 a b4a b-c a-b c b c-a a b e16a b c-2c a b c-2b a b c-2a a b c7.正弦定理-a a b c2b a b cc 人 2s-a s-b s-cS.abc设:s=2如 Figure ill,c为AABC外接圆的直径,a* sin A =c
5、a.c2r (r为ABC的外接圆半径)sin A同理:bcc, c =sin BsinCa bsin A sin Bc 2r sin C8. 加法定理(1) 两角差的余弦Figure IV如 Figure IV,AOC =:BOC 二八AOB = /P令 AO=BO=r点A的横坐标为xA = r cos :-点A的纵坐标为yA = r sin点B的横坐标为xB = r cos :点B的纵坐标为yB =rsin 12 2 2AByA yB 亠Xa -Xb=r sin :-rsin , j 亠 ircos : - r cos: 2= r2sin21 r2sin2 : -2r2sin: sin :
6、r2cos2 r2cos2?2r2cos: cos - =r2 sin2 :; : sin2 :2sin : sin : cos :! cos 7 -2cos: cos :=r2 sin2 工cos2二-sin2 ; -cos : -2sin: sin : 2cos: cos:=r21|1 1-2 sin : sin , cos: cos : I=r2 ”2 - 2 sin : sin : cos: cos : : I= 2r2 卩- sin: sin : cos: cos : : I由余弦公式可得:AB2 =AC2 BC2 -2AC BC cos ACB =r2 r2 2r rcos 工 .
7、 j =2r2 2r2 cos :- - . ?=r21|2 2cos :-: I= 2r2 卩- cos 工-l:, i综上得: cos : - sin : sin : cos: cos :(2) 两角和的余弦cos : = cos 卜-i - I i二 sin : sin 亠 cos : cos:L :=-sin : sin : cos : cos :=cos: cos : -sin : sin :(3) 两角和的正弦sin- cos |90 -亠= cos90 -:-二 sin 90 - - sin : cos 90 - : cos :二 cos : sin “ sin : cos :(
8、4) 两角差的正弦sin : - - - sin | 亠I,i=cos : sin ,厂 sin : cos :-:=-cos : sin ,亠sin : cos :=sin : cos - - cos : sin !::;-(5) 两角和的正切osin(a + B )tan :cos(a + p)cos: sin sin : cos :cos: cos : -sin : sin :cos: sin ; -sin : cos :cosa cosPcos cos : -sin : sin :cost cos :sin :sin :cos :cos:1 sin : sin :cos cos : t
9、an 工tan :1 -tan : tan :(6)两角差的正切tan -二 tan 卜 T - itan 工tan - :1 - tan : tan - :tan -tan :1 tan : tan :9. 两倍角公式sin 2= sin : 7=sincos:亠sin jcosj=2sin _:cos 二cos 2:= cos :亠很 |=cos: cos: -sin : sin : =cos1 sin戸亠卩亠sin工-l;, i : - sin2 :-2 2= 12si n2cos 1tan 2:=sin 2二cos 2 二2sin : cos:= 22cos -sin :2sin :
10、cos:2_ COS Ct2. 2cossin :-2cos :-2sin :cos :s.2sin :2cos -2ta n :1 -tan2:10. 积化和差公式sin -:cos :=1 -2sin -: cos -sin : -cos-:sin :1sin 二 cos : sin 一icos : cos21COS : cos2cos : cos :1 _ _ _ _ cos: cos ,亠cos: cos ,亠sin : sin - -sin : sin :1COS 二亠.-厂 cos :,-:;sin 二 sin :二 * 2sin _:isin :1sin : sin : sin
11、: sin : cos: cos .:cos: cos -1cosy 亠卩 i- cos - -I11. 和差化积公式sin A sin B =sin 很亠 j 亠sin : -;=sin : cos : cos sin : sin: cos : -cos: sin :二 2sin : cos :fa. +P +a - P(a= 2sin cos -+ P -a - P设:A=a + 3 , B= -0,12 丿IA B A-B =2sincos II 2丿J 2丿sin A-sin B =sin i 二亠卩 i- sin : - : i;=sincos : cost sin ? -sin 二
12、 cos : cost sin :二 2cos : sin :fa + P -a + 0 ) sinlfa + P +ot - PI 2 c A+B= 2cos II 2sinBI 2=2cos.2丄 2 虫-cos sin 1设:cos。= $ a , sin a =( bJa2+b2Ja2+b2a sin v bsin r - . a b sin j 、a b costJa2 +b2Ja2 + b2二 一a2 b2 cos: sin v sin : cost=一 a2 b2 sin :-二12. 其他常用公式sin 二 n 360 二 sinr cosF:; n 360 二 cost ta
13、n v n 360 = tanrsin 90 - j - costcos 90 - v - sin1tan 90 -v; ta n 日sin 90 j - costcos 90 v - -sin v1tan 90tan日sin v -90= -cos:cos v - 90= si nr1ta n - 90ta n日sin 180 - v - sin v cos 180 - v - -cosn tan 180 - v - - tan sin : -180- -sin,cos : -180- -costtan -180= tan rsin -J - -sinrcos -v -costtan -J - -tantan2n 190 不存在-仁 cos1二 cos)1一1 _sin 乞 1= sin 乞 113.特殊的三角函数值0。(0)151