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1、3 . 2 . 2 函 数 模 型 的 应 用 实 例 （ 2 ） 从容说课 本节课是在上一节课的基础上进一步研究函数模型的应用， 让学生不仅能够应用已知的函数 模型解决问题， 并且还要能够在面临实际问题时， 通过有关数据自己建立函数模型来解决实际问 题，并加以检验 .例 1 给出的数据具有很强的规律性，它体现的是在理想状态下的数据，通过这 些数据所抽象出的函数模型是固定的， 相对比较容易， 教学时注重引导学生分析问题所提供的数 据的特点，再抽象出函数模型；值得注意的是变量的变化范围要符合实际情况 .例 2 中的数据是 通过实际测量得到的，它的规律一般不是很明显， 主要引导学生通过计算器， 画
2、出散点图， 然后 进行观察比较所作的散点图与哪类函数模型比较接近， 从而选择这个函数模型， 并注意对模型的 修改.通过两节课的几个例子， 引导学生回顾问题的特点， 以及解决问题的过程与方法， 加以总结： 根据收集到的数据的特点建立函数模型，解决实际问题的基本过程：三维目标一、知识与技能1. 能根据理想状态下的数据特点，建立函数模型解决实际问题.2. 能利用计算器，通过表格画出散点图，进行比较选择函数模型，并能加以修改.3. 根据例题的解决方法总结出“根据收集到的数据特点建立函数模型，解决实际问题的基本 方法” .二、过程与方法1. 对于理想状态下的数据特点，引导学生根据它的实际意义抽象出函数模
3、型，并注意变量的 变化范围 .2. 针对实际测量得到的数据利用计算器，画出散点图，比较抽象出函数模型，这里将学生分 成几组，分别从不同的数据来计算出函数模型的参变量，通过比较以获得更精确的函数模型 .三、情感态度与价值观 通过对函数模型在实际问题中的应用举例， 有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和 作用， 体验数学与日常生活和其他学科的联系，有助于激发学生学习数学的兴趣， 发展学生的创新精神和实践能力 .教学重点 根据例题的解决方法总结出 “根据收集到的数据特点建立函数模型， 解决实际问题的基本方 法”.教学难点 对抽象出的函数模型与根据实际数据画出的散点图进行比较，并加以修改 . 教具
4、准备 多媒体课件、投影仪、计数器 .教学过程一、创设情景，引入新课 师：上一节课我们研究了一些简单函数模型的应用， 但是我们不仅要能够应用已知的函数模 型解决问题， 而且还要能够在面临实际问题时， 通过收集到数据自己建立函数模型来解决实际问 题.本节课主要通过两个具体的实例去感受如何收集数据，建立适当的函数模型，解决实际问题， 同时研究总结它的基本过程 .二、例题剖析【例 1】某桶装水经营部每天的房租、 人员工资等固定成本为 200 元，每桶水的进价是 5 元. 销售单价与日均销售量的关系如下表所示 .销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根
5、据以上数据作岀分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？师：根据上表，我们发现，表中的数据具有很强的规律性，具体体现在哪里.这张表反映了销售单价与日均销售量的什么关系？获得的利润指的是什么？生：当销售单价每增加1元，日均销售量就减少 40桶，获得利润=日均销售利润日固定成本(200).解：设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量就为480 40 (X 1) =520 40x (桶).(在实际问题中应注意变量的变化范围)由 x 0,且 520 40X 0= 0V XV 13.所以 y= ( 520 40x) X 200= 40x +520X 200 ( 0 V XV
6、1).易知当x=6.5时，y有最大值.所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.从例1中的数据可以看岀它的变化是很有规律性的，它体现的是一种理想状态下的数据，对于这类问题抽象岀函数模型比较容易，而且列岀的函数模型应该是固定的，但是在现实生活中， 一般都是通过实际测量所得数据解决实际问题，它的规律一般不是很明显，我们必须通过计算器 加以解决.【例2】某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表身高/cm60708090100110体重/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高/cm120130140150160170体重/kg20.9226.8631.1138
7、.8547.2555.05(1)根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未 成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写岀这个函数模型的解析式(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？分析：这里只给了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的 .师：请同学们根据这些数据画岀散点图，再进行观察和思考，所作的散点图与已知的哪一个函数图象最接近，从而选择函数模型.通过散点图，发现指数型函数y=abx的图象可能与散点图的吻合较好，而函数
8、 y=abx中只有两个待定参数 a、b,故只需选取两组数据就能求岀a、b的值.但是这里共有12组数据，是否任取两组数据，得到的a、b的值相同呢？将学生分成8组，分别给予两组数据计算a、b的值，通过计算器看计算 a、b的结果是否相同，再同散点图进行比较是否吻合，从中选岀最接近的函数模型课堂上先选取(60，6.13)、( 70，7.90)这两组数据，可以用计算器得岀a=1.338，b=1.026从而函数的解析式为 y=1.338 X 1.026x，同时画岀这个函数图象与散点图，我们发现，函数y=1.338X 1.026x不能很好地反映该地区未成年人体重与身高的关系.课后请同学们自己选择两组数据进行
9、研究，直至得到自己较为满意的函数的模型.在教科书上选取的是(70，7.90)， ( 160，47.25)两组数据，计算岀 a- 2，b- 1.02.从而得到函数模型 y=2 X 1.02x，同时画岀这个函数图象与散点 图.我们发现，散点图上的点基本上在或接近函数y=2 X 1.02x的图象，所以函数y=2 X 1.02x能较好地刻画该地区未成年人体重与身高的关系(2)将 x=175 代入 y=2 X 1.02x，得 y=2 X 1.02175，由计算器算得 y - 63.98.由于 78 - 63.98 1.22 12所以这个男生偏胖.从例2我们可以看岀从实际测量所得的数据抽象岀函数模型的应用
10、问题比较困难，尤其要注意如何选择更精确的数学模型，如果能很好地运用计算器的的拟合功能，那么获得的函数模型更精确.从以上例题我们可以得到：根据收集到的数据建立函数模型，解决实际问题的基本过程.三、课堂练习1. 某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元.(1) 分别求岀总成本y1、单位成本y2、销售总收入 七、总利润y4与总产量x的函数解析式；(2) 根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益作岀简单分析1500.25x解：(1)1=150+0.25 x, y2=，y3=0.35x，y4=0.1x 150.x(2)当xv 1500时，该公
11、司亏本；当x=1500时，该公司不赔不赚；当x 1500时，该公司赢利.2. 不打开降落伞，跳伞运动员离开飞机后，第1s下落约5 m，第2s下落约15 m，第3s下落约25 m，如果跳伞运动员从离地面1800 m的高空跳伞，并准备在距地面 200 m时打开降落伞，那么跳伞运动员应在离开飞机多少秒后打开降落伞？(精确到0.1s)解：运动员在离开飞机 xs后下落的距离y为y=5x2.由题意知 y=1600，解得 x 17.9.跳伞运动员应在离开飞机后约17.9s时打开降落伞.3. 某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52、61、68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y=ax2
12、+bx+c，乙选择了模型y=pqx+r，其中y为患病人数，x为月份数,a、b、c、p、q、r都是常数.结果4月、5月、6月份的患病人数分别为74、78、83，你认为谁选择的模型较好？|52 = a b ca = -1,解:由 61=4a2bc 二b=12,68=9a3bcc=41.y=73 ;当x=5时，y=76 ;当x=6时，y=77与实际结果相差较大7729 q =14185 r2所以甲函数模型为 y= x2+12x+41. 当x=4时，52 二 p 由 *61 =p q68 = p q3 +r所以乙函数模型为y=14当 x=4 时，y 74 ;当 x=5 时，型较好.三、课堂小结本节课我们主要通过收集数据，729 ( 7 ) x (一 )+r.9y 78，当x=6时，y 82.与实际结果非常接近.因此选择乙模器或计算机的数据拟合功能得岀具体的函数解析式,作岀散点图，然后通过观察图象抽象岀函数模型，利用计数再用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程.四、布置作业课本P126习题3.2A组第8、9题；B组第2、3题.板书设计3.2.2函数模型的应用实例（2）例1例2三、课堂小结与作业布置
