第四讲定义新运算知识点拨一 定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算关键问题：正确理解定义的运算符号的意义注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二 定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合例题精讲模块一、直接运算型【例 1】 若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。
巩固】 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值6△（3△4）【巩固】 设△，那么，5△______，(5△2) △_____.【巩固】 、表示数，表示与的平均数，求3(68)【例 2】 规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 【巩固】 我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算，例如：53=35=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：的结果是多少？【例 3】 [A]表示自然数A的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:= . 【巩固】 x为正数,表示不超过x的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是 . 【巩固】 定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= . 【例 4】 已知a,b是任意自然数,我们规定: a⊕b= a+b-1,,那么 .【例 5】 （第五届“华杯赛”复赛）羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。
小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼) 【例 6】 （北京市 “迎春杯”）对于任意的整数x与y定义新运算“△”：,求2△9巩固】 “*”表示一种运算符号，它的含义是： ，已知 ，求模块二、反解未知数型【例 7】 如果a△b表示,例如3△4,那么,当a△5=30时, a= .【巩固】 规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x= . 【例 8】 如果a⊙b表示,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时, x= 【巩固】 对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值例 9】 定义新运算为，⑴求的值；⑵若则x的值为多少？【例 10】 对于任意的两个自然数和，规定新运算：，其中、表示自然数.如果，那么等于几？【例 11】 定义为与之间（包含、）所有与奇偶性相同的自然数的平均数，例如：，．在算术的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？【例 12】 （101中学小升初试题）如有#新运算，#表示、中较大的数除以较小数后的余数.例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.如（21#（21#））=5，则可以是________（小于50）模块三、观察规律型【例 13】 如果 1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333计算 （3※2）×5。
巩固】 规定:6※2=6+66=72 2※3=2+22+222=246, 1※4=1+11+111+1111=1234. 7※5= .【例 14】 有一个数学运算符号，使下列算式成立： ，，，，求【例 15】 规定△, 计算：（2△1）（11△10）______. 【巩固】 “⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3；7⊙2：3⊙5，……按此规则，如果n⊙868，那么，n ____.模块四、综合型题目【例 16】 表示成;表示成.试求下列的值:(1) ，，;(4)如果x, y分别表示若干个2的数的乘积,试证明:. 【例 17】 对于任意两数x, y,定义一种运算“※”，规定:x※y=,其中的表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是 _________巩固】 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.【例 18】 两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2. (1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5; (2)已知11☉x=2,而x小于20,求x; (3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x. 【例 19】 设a,b是两个非零的数,定义a※b. (1)计算(2※3)※4与2※(3※4).(2)如果已知a是一个自然数,且a※3=2,试求出a的值. 【巩固】 定义运算“⊙”如下: 对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b. 比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68. (1)求12⊙21,5⊙15; (2)说明,如果c整除a和b,则c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,则c也整除b; (3)已知6⊙x=27,求x的值. 课后作业练习1 规定a☉b = , 则2☉(5☉3)之值为 .练习2 如果1※4=1234,2※3=234,7※2=78,那么4※5= .练习3 设a,b为自然数,定义a△b. (1)计算(4△3)+(8△5)的值;(2)计算(2△3)△4;(3)计算(2△5)△(3△4).练习4 两个整数a和b,a除以b的余数记为a☆b.例如,13☆5=3,5☆13=5,12☆4=0.根据这样定义的运算,(26☆9) ☆4= .5年级·第4讲·学生版 page 1 of 3。