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1、 数学数学巧学巧解大全高中数学巧学巧解大全目录第一部分高中数学活题巧解方法总论第一篇数学具体解题方法代入法 直接法 定义法 参数法 交轨法 几何法 弦中点轨迹求法 比较法 基本不等式法 综合法 分析法 放缩法 反证法 换元法 构造法 数学归纳法 配方法 判别式法 序轴标根法 向量平行法 向量垂直法 同一法 累加法 累乘法 倒序相加法 分组法 公式法 错位相减法 裂项法 迭代法 角的变换法 公式的变形及逆用法 降幂法 升幂法 “1”的代换法 引入辅助角法 三角函数线法 构造对偶式法 构造三角形法 估算法 待定系数法 特殊优先法 先选后排法 捆绑法 插空法 间接法 筛选法（排除法） 数形结合法 特
2、殊值法 回代法（验证法） 特殊图形法 分类法 运算转换法 结构转换法 割补转换法 导数法 象限分析法 补集法 距离法 变更主元法 差异分析法 反例法 阅读理解法 信息迁移法 类比联想法 抽象概括法 逻辑推理法 等价转化法 根的分布法 分离参数法 抽签法随机数表法第二篇数学思想方法函数与方程思想 数形结合思想 分类讨论思想 化归转化思想 整体思想第三篇数学逻辑方法比较法 综合法 分析法 反证法 归纳法 抽象与概括 类比法第二部分 部分难点巧学一、看清“身份”始作答分清集合的代表元素是解决集合问题的关键二、集合对实数说：你能运算，我也能！集合的运算（交、并、补、子等）三、巧用集合知识确定充分、必要
3、条件四、活用德摩根定律，巧解集合问题五、“补集”帮你突破巧用“补集思想”解题六、在等与不等中实现等价转化融函数、方程和不等式为一体七、逻辑趣题欣赏八、多角度、全方位理解概念谈对映射概念的掌握九、函数问题的灵魂定义域十、函数表达式的“不求”艺术十一、奇、偶函数定义的变式应用十二、巧记图象、轻松解题十三、特殊化思想十四、逆推思想十五、构造思想十六、分类思想十七、转化与化归思想十八、向量不同于数量、向量的数量积是数量十九、定比分点公式中应注意的含义二十、平移公式中的新旧坐标要分清二十一、解斜三解形问题，须掌握三角关系式二十二、活用倒数法则巧作不等变换不等式的性质和应用二十三、小小等号也有大作为绝对值
4、不等式的应用二十四、“抓两头，看中间”，巧解“双或不等式”不等式的解法二十五、巧用均值不等式的变形式解证不等式二十六、不等式中解题方法的类比应用二十七、吃透重点概念，解几学习巧入门二十八、把握性质变化，解几特点早领悟二十九、重点知识外延，概念的应用拓展三十、把握基本特点，稳步提高解题能力三十一、巧记圆锥曲线的标准方程确定圆锥曲线方程的焦点位置三十二、巧用圆锥曲线的焦半径公式三十三、直线与圆锥曲线位置关系问题三十四、求轨迹的常用方法三十五、与圆锥曲线有关的最值问题、定值问题、参数范围问题三十六、空间问题向平面转化的基础平面的基本性质三十七、既不平行，也不相交的两条直线异面三十八、从“低（维）”到
5、“高（维）”，判定线面、面面的平行，应用性质则相反三十九、相互转化研究空间线线、线面、面面垂直的“利器”四十、找（与所求角有关的线）、作（所缺线）、证（为所求）、算（其值）解空间角问题的步骤四十一、作（或找垂线段）、证（为所求）、算（长度）解距离问题的基本原则四十二、直线平面性质集中展示的大舞台棱柱、棱锥四十三、突出球心、展示大圆、巧作截面解有关球问题的要点四十四、排列、组合问题的巧解策略四十五、二项式定理的要点透析四十六、正确理解频率与概率的联系与区别四十七、要正确理解事件、准确判定事件属性四十八、求随机事件的概率的方法步骤四十九、重要的概率模型五十、抓住关键巧判断试验、随机试验、随机变量的
6、判断五十一、随机变量与函数的关系五十二、离散型随机变量分布列的两条性质的巧用五十三、理解是学习数学的上方宝剑数学期望的巧妙理解五十四、与E的本质区别五十五、巧用公式快计算公式DE2（E）2的理解与应用五十六、公式的比较与巧记五十七、化难为易、化繁为简巧归纳五十八、凑结论，一锤定音五十九、取特殊，直接代换六十、巧设问，判断函数的连续性六十一、注意理解曲线 yf (x) 在一点p ( x0, y0 )的切线概念六十二、加强理解函数yf (x)在（a ,b）上的导函数六十三、利用导数判断函数的单调性六十四、利用导数证明不等式六十五、函数yf (x)在点xx0处的极值理解六十六、求可导函数yf (x)
7、在区间（a ,b）上的极值方法六十七、分清实部与虚部，转化为方程或不等式是判定复数类型的基本方法六十八、利用复数相等条件转化为方程组，复数问题实数化是求复数的基本方法六十九、记住常用结论，简化复数运算七十、应用复数的几何意义，数形结合求与复数有关的问题 郑重声明依照中华人民共和国著作权法，本书版权所有，任何人或单位都不得仿冒高中理科巧学巧解大全从事图书出版活动，不得擅自抄袭本书的研究成果，不得盗版及销售盗版图书，一旦发现，将违法图书寄往中华人民共和国新闻出版总署和工商行政管理总局，并将采取法律手段，使侵权者必将受到法律的严惩！ 第一部分 高中数学活题巧解方法总论一、代入法若动点依赖于另一动点而
8、运动，而点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式，于是将这个点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。【例1】（2009年高考广东卷）已知曲线：与直线：交于两点和，且，记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D.设点是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合.若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；【巧解】联立与得，则中点，设线段 的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，中点的轨迹方程为（）.【例2】（2008年，江西卷）设
9、 在直线上，过点作双曲线的两条切线、，切点为、，定点M。 过点A作直线的垂线，垂足为N，试求的重心G所在的曲线方程。【巧解】设，由已知得到，且，（1）垂线的方程为：，由得垂足，设重心所以 解得 由 可得 即为重心所在曲线方程巧练一：（2005年，江西卷）如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.，求APB的重心G的轨迹方程.巧练二：（2006年，全国I卷）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量，求点M的轨迹方
10、程二、直接法直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。从近几年全国各地的高考数学试题来看，绝大大部分选择题的解答用的是此法。但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题，一边计算，一边对选项进行分析、验证，或在选项中取值带入题设计算，验证、筛选而迅速确定答案。【例1】（2009年高考全国II卷）已知双曲线的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点。若，则C的离心率为（ ）（A）（B）（C）（D）【巧解】设，由，得，设过点斜率为的直线方程为，由消去得：， ， 将 代入得化简得 ，化简得：，即。故
11、本题选（A）【例2】（2008年，四川卷）设定义在上的函数满足，若，则（ ）（A）13（B）2（C）（D）【巧解】，函数为周期函数，且，故选（C）巧练一：（2008年，湖北卷）若上是减函数，则b的取值范围是（ ）ABCD巧练二：（2008年，湖南卷）长方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=AA1=1，则顶点A、B间的球面距离是（ ）ABCD 三、定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解题。选择题的命题侧重于对圆锥曲线定义的考查，凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等问题，用圆锥曲线的第一和第二定义解题，是一种重要的解题策略。【例1】（2009
12、年高考福建卷，理13）过抛物线的焦点F作倾斜角为450的直线交抛物线于A、B两点，线段AB的长为8，则 【巧解】依题意直线的方程为，由消去得：，设，根据抛物线的定义。，故本题应填2。【例2】（2008年，山东卷，理10）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26. 若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ ）（A）（B）（C）（D）【巧解】由题意椭圆的半焦距为，双曲线上的点满足点的轨迹是双曲线，其中，故双曲线方程为，选（A）巧练一：（2008年，陕西卷）双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若MF2
13、垂直于x轴，则双曲线的离心率为（ ）ABCD巧练二：（2008年，辽宁卷）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）（A）（B）3（C）（D）四、向量坐标法向量坐标法是一种重要的数学思想方法，通过坐标化，把长度之间的关系转化成坐标之间的关系，使问题易于解决，并从一定程度上揭示了问题的数学本质。在解题实践中若能做到多用、巧用和活用，则可源源不断地开发出自己的解题智慧，必能收到事半功倍的效果。【例1】（2008年，广东卷）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. 若=a，=b，则=（ ）AxyOBDCEAa +b Ba +b Ca +b Da +b【巧解】如图所示，选取边长为2的正方形则，直线的方程为，联立得，设，则解之得，故本题选B【例2】已知点为内一点，且0，则、的面积之比等于（ ）A9：4：1 B1：4：9 C3：2：1D1：2：3ABCxyO【巧解】不妨设为等腰三角形，建立如图所示的直角坐标系，则点，设，0，即解之得，即，又直线的方程为，则点到直线的距离，因此，故选C巧练一：（2008年，湖南卷）设D、E、F分别是ABC的三边BC
