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1、小学数学中几种常用的数学思想措施(一)(-10-17 10:34:09) 转载标签： 杂谈分类： 教育收藏 数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质结识，它直接支配着数学的实践活动。数学措施，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学措施的灵魂，数学措施是数学思想的体现形式和得以实现的手段。数学思想是人们对数学内容的本质结识，是对数学知识和数学措施的进一步抽象和概括，属于对数学规律的理性结识的范畴，而数学措施则是解决数学问题的手段，具有“行为规则”的意义和一定的可操作性，同一种数学成果，当用它去解决别的问题时，就称之为措施；当论及它在数学体系中
2、的价值和意义时，则称之为思想。因此，人们把它们统称为数学思想措施。在小学数学中常用的数学思想措施有：一、符号思想符号思想是用符号化的语言（涉及字母、数字、图形和多种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。符号思想是将所有的数据实例集为一体，把复杂的语言文字论述用简洁明了的字母公式表达出来，便于记忆，便于运用。把客观存在的事物和现象及它们互相之间的关系抽象概括为数学符号和公式，有一种从具体到表象再抽象符号化的过程。用符号来体现的数学语言是世界性语言，是一种人数学素养的综合反映。在数学中多种量的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表达数，以符号的浓缩形式来体现大量的信
3、息，如乘法分派律(ab)cacbc；数学广角中用图形来表达多种事物等。二、化归思想化归思想是数学中最普遍使用的一种思想措施，其基本思想是：把甲问题的求解，化归为乙问题的求解，然后通过乙问题的解反向去获得甲问题的解。一般是指不可逆向的“变换”。它的基本形式有：化难为易，化生为熟，化繁为简，化整为零，化曲为直等。如求组合图形的面积时，先把组合图形割补成学过的简朴图形，然后计算出各部分面积的和或差，均能使学生体会化归法的本质；学习圆的周长，先将圆的周长转化成一条线段，再推导出它的周长，这就是化曲为直。三、分解思想分解思想就是先把原问题分解为若干便于解决的子问题，分解出若干便于求解的范畴，分解出若干便
4、于层层推动的解题环节，然后逐个加以解决并达到最后顺利解决原问题的目的的一种思想措施。如在五年级解决问题的方略教学中“倒退着想”的解题方略就体现了这种思想。四、转换思想转换思想是一种解决数学问题的重要方略，是由一种形式变换成另一种形式的思想措施，这里的变换是可逆的双向变换。在解决数学问题时，转换是一种非常有用的方略。对问题进行转换时，既可转换已知条件，也可转换问题的结论。转换可以是等价的，也可以是不等价的。用转换思想来解决数学问题，转换仅是第一步，第二步要对转换后的问题进行求解，第三步要将转换后问题的解答反演成问题的解答。如果采用等价关系作转换,可直接求出解而省略反演这一步。如计算：2.8113
5、170.7，直接计算比较麻烦，而分数的乘除运算比小数以便，故可将原问题转换为：28/103/47/110/7，这样，运用约分就能不久获得本题的解。再如：某班上午缺席人数是出席人数的1/7，下午因有1人请病假，故缺席人数是出席人数的1/6。问此班有多少人？此题因上下午出席人数起了变化，解题遇到了困难。如将上午缺席人数转换成是全班人数的1/7 1=1/8，下午缺席人数是全班人数的1/6 1=1/7，这样，不久发现其本质关系：1/7与1/8的差是由于缺席1人导致的，故全班人数为：1（1/7-1/8）=56（人）。五、分类思想分类思想措施不是数学独有的措施，数学的分类思想措施体现对数学对象的分类及其分
6、类的原则。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数；按因数的个数分素数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类原则就会有不同的分类成果，从而产生新的概念。对数学对象的对的、合理的分类取决于分类原则的对的、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。六、归纳思想数学归纳法是一种数学证明措施，典型地用于拟定一种体现式在所有自然数范畴内是成立的或者用于拟定一种其她的形式在一种无穷序列是成立的。有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的体现式是等价体现式，这就是出名的构造归纳法。七、类比思想数学上的类比思想是指根据两类数学对象的相似性，有也许将已知的一类数
7、学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想，它可以解决某些表面上看似复杂困难的问题。类比思想不仅使数学知识容易理解，并且使公式的记忆变得顺水推舟得自然和简洁，从而可以激发起学生的发明力，正如数学家波利亚所说：“我们应当讨论一般化和特殊化和类比的这些过程自身，它们是获得发现的伟大源泉。”如由加法互换律abba的学习迁移到乘法分派律ab=ba的学习又如长方形的面积公式为长宽ab，通过类比，三角形的面积公式也可以理解为长（底）宽（高）2ab（h）2。类似的，圆柱体体积公式为底面积高，那么锥体的体积可以理解为底面积高3八、假设思想假设思想是一种常用的推测性的数学思考措施.运用这种思想可以解某些填空题、
8、判断题和应用题.有些题目数量关系比较隐蔽，难以建立数量之间的联系，或数量关系抽象，无从下手.可先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量浮现的矛盾，最后找到对的答案的一种思想措施。假设思想是一种故意义的想象思维，掌握之后可以使得要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。如：在求鸡兔同笼的问题，可以假设所有是鸡；或者所有是兔。九、比较思想人类对一切事物的结识，都是建筑在比较的基本上，或同中辨异，或异中求同。俄国教育家乌申斯基说过：“比较是一切理解和一切思维的基本。”小学生学习数学知识，也同样需要通过对数学材料的比较，理解新知的本质意义，掌握知识间的联系和区
9、别。在教学分数应用题中，教师要善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的状况，可以协助学生较快地找到解题的途径，是用算术措施简朴还是用列方程的措施简朴，学生通过比较后可以选择合适的措施。十、极限思想事物是从量变到质变，极限措施的实质正是通过量变的无限过程达到质变。教学“圆的面积和周长”中，“化圆为方”“化曲为直”的极限分割思路，在观测有限分割的基本上想象它们的极限状态，这样不仅使学生掌握公式，还能从曲与直的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。战国时代的庄子?天下篇中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”布满了极限思想。古代杰出的数学家刘徽的“割圆术”就是运用极限思想来求得圆的周长的，她一方面作
10、圆内接正多边形，当多边形的边数越多时，多边形的周长就越接近于圆的周长。刘徽总结出：“割之弥细，所失弥少。割之又割以至于不可割，则与圆合体无所失矣。”正是用这种极限的思想，刘徽求出了，即“徽率”。现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗入:在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多种，让学生初步体会“无限”思想。在循环小数这一部分内容，在教学 13=0.333是一循环小数，它的小数点背面的数字是写不完的，是无限的。在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。十一、演绎思想演绎也是理智的活动，但是和直观不同，它
11、们不是理智的单纯活动，必须先假定了某些真理（或定义)之后，然后再凭借这些定义推出某些结论。譬如：我们懂得了三角形的定义和定理之后，可以推出一种三角形内角的总和等于两直角之和。因此直观的功用是在于提供科学和哲学的最新原则。而演绎则是应用这些原则来建立某些定理和命题。演绎并不规定像直观所拥有的那种直接呈现出来的证明，它的的确性在某种限度上宁可说是记忆赋予它的。它通过一系列的间接论证就能得出结论，这就像我们握着一根长链条的第一节就可以结识它的最后一节同样。这就是说，直观是发明的基本原则，演绎是导致最基本的结论。但是也有哲学家觉得演绎是有缺陷的，由于由同一种原则往往会演绎出不同的结论，因此应当有另一种
12、措施来纠正它。这个纠正的措施就是经验，即所谓的诉诸事实。总之，直观就是找到最简朴、最无可怀疑、最不必辩护的人类知识元素，即发现最简朴和最可靠的观念或原理。然后对它们进行演绎推理，导出所有的确可靠的解决方案。例如数学定理证明就是一种演绎推理十二、模型思想是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充足运用观测、实验、操作、比较、分析综合概括等所谓过程，得到简化和假设，它是生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想措施。培养学生用数学的眼光结识和解决周边事物或数学问题乃数学的最高境界，也是学生高数学素养所追求的目的。数学模型措施不仅是解决纯数学问题的一种典型措施，并且也是解决自然科学、
13、社会科学、工程技术和社会生产中多种实际问题的一般数学措施。用数学措施解决某些实际问题，一般先把实际问题抽象成数学模型。所谓数学模型，是指从整体上描述现实原型的特性、关系及规律的一种数学方程式。按广义的解释，从一切数学概念、数学理论体系、多种数学公式、多种数学方程以及由公式系列构成的算法系统都称之为模型。但按狭义的解释，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系构造，才叫数学模型。例如根据具体问题中的数量关系，建立数学模型，列出方程进行求解。十三、相应思想相应指的是一种系统中的某一项在性质、作用、位置上跟另一系统中的某一项相称。相应思想可理解为两个集合元素之间的联系的一种思想措施。在小学
14、数学教学中渗入相应思想，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力。“相应”的思想由来已久，例如我们将一支铅笔、一本书、一栋房子相应一种抽象的数“1”，将两只眼睛、一对耳环、双胞胎相应一种抽象的数“2”；随着学习的进一步，我们还将“相应”扩展到相应一种形式，相应一种关系，等等。再如：数轴上的点与实数之间的一一相应，函数与其图象之间的相应.此外,在“多和少”这一课中, 一种茶杯盖与每一种茶杯相应，直观看到“茶杯与茶杯盖相比，一种对一种，一种也不多，一种也不少”，我们就说茶杯与茶杯盖同样多。使学生初步接触一一相应的思想，初步感知两个集合的各元素之间能一一相应，它们的数量就是“同样多”，“相应”的思想在
15、此后的学习中将会发挥越来越大的作用。十四、集合思想把若干拟定的有区别的（不管是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一种整体，就称为一种集合，其中各事物称为该集合的元素。通俗地说就是把某些可以拟定的不同的对象当作一种整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合。集合思想的特性：（1）拟定性：给定一种集合，任何对象是不是这个集合的元素是拟定的了. 就是说按照明确的判断原则给定一种元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。（2）互异性：集合中的元素一定是不同的，即集合中的元素没有反复。（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序。根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集。（2）具有有限个元素的集合叫做有限集。（3）具有无穷个元素的集合叫做无限集。集合的体现形式：列举法；框图法；描述法。例如：能被2整除的数为一种集合。十五、数形结合思想就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义又揭示其几何意义，使问题的数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的互相转化来解决数学问题的思想。其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，核心是代数问题与图形之间的互相转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。数形结合的思想，涉及“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大体可以分为两种情形：或者是借助形
