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1、实验三电力系统暂态稳定分析电力系统暂态稳定计算实际上就是求解发电机转子运动方程的初值问题，从而得出 -t和 -t 的关系曲线。每台发电机的转子运动方程是两个一阶非线性的常微分方程。因此，首先介绍常微分方程的初值问题的数值解法。一、 常微分方程的初值问题（一）问题及求解公式的构造方法我们讨论形如式（3-1 ）的一阶微分方程的初值问题y (x)f ( x, y), a x b）y( x0 )（ 3-1y0设初值问题（3-1 ）的解为 y( x) ，为了求其数值解而采取离散化方法，在求解区间 a, b 上取一组节点ax0x1xixi 1xnb称 hixi 1xi （ i0,1, n1 ）为步长。在等
2、步长的情况下，步长为hban用 yi 表示在节点 xi 处解的准确值 y( xi ) 的近似值。设法构造序列 yi 所满足的一个方程（称为差分方程）yi 1yi h (xi , yi , h)（3-2 ）作为求解公式，这是一个递推公式，从（x0 ， y0）出发，采用步进方式，自左相右逐步算出 y( x) 在所有节点 xi 上的近似值 yi （ i1,2, , n ）。在公式（3-2 ）中，为求 yi 1 只用到前面一步的值yi，这种方法称为单步法。 在公式（ 3-2 ）中的 yi 1 由 yi 明显表示出，称为显式公式。而形如（3-3 ）yi 1yi h (xi , yi , yi 1 , h
3、)（3-3 ）的公式称为隐式公式，因为其右端中还包括 yi1 。如果由公式求yi 1 时，不止用到前一个节点的值，则称为多步法。由式（ 3-1 ）可得dy = f (x, y)dx（3-4 ）两边在 xi ， xi 1 上积分，得xi1（3-5 ）y (xi 1 ) y (xi )f ( x, y( x) dxxi由此可以看出， 如果想构造求解公式， 就要对右端的积分项作某种数值处理。 这种求解公式的构造方法叫做数值积分法。（二）一般的初值问题的解法1 欧拉法和改进欧拉法对于初值问题（ 3-1 ），采用数值积分法，从而得到（ 3-5 ）。对于（ 3-5 ）右端的积分用矩形公式 ( 取左端点 )
4、 ，则得到xi 1f ( x, y( x) dxh f (xi , y( xi)xi进而得到（ 3-1 ）的求解公式（ 3-2 ）yi 1 yih f ( xi , yi )（ i=0， 1，2， n-1 ）（3-6）此公式称为欧拉（ Euler ）格式。如果对式（ 3-5 ）右端的积分用梯形公式xi 1hf (x, y(x)dx( f ( xi , y(xi ) f ( xi1 , y(xi 1 )xi2则可以得到初值问题（ 3-1 ）的梯形求解公式如式（3-7 ）hf (xi , yi ) f (xi 1 , yi 1 )（ i =0， 1， 2，n-1 ） （3-7 ）y i 1y i2
5、式（ 3-7 ）是个隐式公式。可以采取先用欧拉格式求一个y( xi 1 ) 的初步近似值，记作yi 1 ，称之为预报值，然后用预报值yi 1 替代式（ 3-7 ）右端的 yi 1，再计算得到 yi 1 ，称之为校正值，这样建立起来的预报校正方法称为改进欧拉格式y i1y ih f ( xi , y i )（3-8 ）y iy ih)1f (xi , yif (xi 1 , y i 1 )22 龙格库塔方法在单步法中，应用最广泛的是龙格库塔（Runge-kutta）法，简称R K 法。下面直接给出一种四阶的龙格库塔法的计算公式（3-9 ）yi 1yi1 (K12K2 2K 3K 4 )K 1h6
6、f (xi , yi )K 2h f (xih1（3-9 ）, yiK1 )22K 3h f (xih , yi1K2)K 4h f (xi22h, yiK 3 )它也称为标准（古典）龙格库塔法。例 3-1研究下列微分方程的初值问题y12 2 y 21xy (0)0解：这是一个特殊的微分方程，其解的解析式可以给出，为yx1 x 2应用龙格库塔法，取h =0.25 ，根据式（ 3-9 ）编写一段程序，由零开始自左相右逐步算出y( x) 在所有节点 xi 上的近似值 yi 。计算结果见表3-1 。计算结果表明， 四阶龙格库塔方法的精度是较高的。表 3-1xnyny( xn ) yn2.00.399
7、956994.3e-54.00.235291592.5e-66.00.162161793.7e-78.00.123076839.2e-8实际上， MATLAB为常微分方程提供了很好的解题指令，使得求解常微分方程变得很容易，并且能将问题及解答表现在图形上。因此，我们可以不用根据式（3-9 ）编写较复杂的程序，而只需应用MATLAB提供的常微分方程解题器来解决问题。下面给出用MATLAB编写的解题程序。首先编写描述常微分方程的ODE文件，文件名为myfun，便于解题器调用它。functiondy = myfun(x,y)dy = zeros(1,1);dy=1/(1+x2)-2*y2;再编写利用解
8、题器指令求解y的程序。clearx0=0;fori=1:4xm=2*i;y0=0;x,y = ode45(myfun,x0 xm,y0);format longy(length(y)endplot(x,y,-)运行上述程序，在得到几个点的函数值的同时，也得到函数y 的曲线，如图3-1 所示。0.50.40.3y0.20.1002468x图 3-1根据运算结果画出y 的曲线二、 简单电力系统的暂态稳定性（一）物理过程分析某简单电力系统如图3-2(a)所示，正常运行时发电机经过变压器和双回线路向无限大系统供电。发电机用电势E 作为其等值电势，则电势E 与无限大系统间的电抗为xxdxT 1x LxT
9、 2（ 3-10 ）2这时发电机发出的电磁功率可表示为PE U sinP M sin（ 3-11 ）x如果突然在一回输电线路始端发生不对称短路，如图3-2(b) 所示。故障期间发电机电势 E 与无限大系统之间的联系电抗为(xd xT 1 ) ( x L( xdxT 1 )( x LxT 2 )xxT 2 )2（ 3-12 ）2x在故障情况下发电机输出的电磁功率为PE U sinP M sin（ 3-13 ）x在短路故障发生之后，线路继电保护装置将迅速断开故障线路两端的断路器，如图3-2(c)所示。此时发电机电势E 与无限大系统间的联系电抗为xxdxT1 xLxT 2（ 3-14 ）发电机输出的
10、功率为PE U sinP M sin（ 3-15 ）xGT1LT2U = cEj xdjx T 1jx Ljx T 2UEjxdjxT 1jx LjxT 2 Ujx Ljx Ljx( a)( b)Ej xdjx T1jxLjx T 2U( c)图 3-2 简单电力系统及其等值电路（ a）正常运行方式及其等值电路； （b）故障情况及其等值电路； （ c）故障切除后及其等值电路如果正常时发电机向无限大系统输送的有功功率为P0 ，则原动机输出的机械功率PT 等于 P0 。假定不计故障后几秒种之调速器的作用，即认为机械功率始终保持P0 。因此，可以得到此简单电力系统正常运行、故障期间及故障切除后的功率特性曲线如图3-3 所示。PPPakhPTP0P0kcmh图 3-3 简单系统正常运行、故障期间及故障切除后的功率特性曲线对于上述简单电力系统， 我们可以根据等面积定则求得极限切除角。但是，实际工作需要知道在多少时间之切除故障线路，也就是要知道与极限切除角对应的极限切除时间。要解决这个问题，必须求解发电机的转子运动方程。（二）求解发电机的转子运动方程求解发电机转子运动方程可以得出-t和 -t 的关系曲线。 其中 -t曲线一般称为摇摆曲线。在上述简单电力系统中故障期间的转子运动方程为d1)(1dt（ 3-16 ）d
