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1、4.1.1 导数与函数的单调性基础达标1.函数f(x)2xsin x在(，)上()A是增函数 B是减函数C先增后减 D先减后增解析：选A.f(x)2cos x，因为cos x1，1，所以2cos x0恒成立，即f(x)0恒成立，故选A.2.函数f(x)x2ln x的单调递减区间为()A(1，1) B(0，1C1，) D(，1)(0，1解析：选B.f(x)x(x0)，由题意可知得0x1.3.设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图像如图所示，则导函数yf(x)的图像可能为()解析：选D.由yf(x)图像可知，x0，x0时，函数图像先增加后减小再增加，其对应的导数是，先有f(x)0，再有f(x
2、)0，因此D符合条件对于R上的任意连续函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则必有()Af(0)f(2)2f(1)解析：选C.由题意，当x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0，由于函数f(x)为连续函数，所以f(1)0必成立所以函数f(x)的单调递增区间是1，)，单调递减区间为(，1)，所以f(0)f(1)，f(2)f(1)，所以f(0)f(2)2f(1)5.若函数f(x)x2ax在(1，)上是增函数，则a的取值范围是()A1，0 B1，)C0，3 D3，)解析：选B.f(x)2xa0在(1，)上恒成立，a2x，a1.即a的取值范围是1，)6.函数f(x)excos x，则f与f的大小关系
3、为_解析：f(x)ex(cos xsin x)，是函数f(x)的一个单调递增区间， 又0，ff.答案：f0)，由题意知2x0，即m2x2在(0，1上恒成立，m2.即实数m的取值范围是2，)答案：2，)函数yx3ax2x2a在R上不是单调函数，则a的取值范围是_解析：由题意知，yx22ax1有两个不相等零点，所以(2a)240得a21，解得a1.即a的取值范围是(，1)(1，)答案：(，1)(1，)已知f(x)exax，求f(x)的单调递增区间解：因为f(x)exax，所以f(x)exa.令f(x)0得exa，当a0时，有f(x)0在R上恒成立；当a0时，有xln a.综上，当a0时，f(x)的
4、单调递增区间为(，)；当a0时，f(x)的单调递增区间为ln a，)(1)已知函数f(x)x2(x0，常数aR)在2，)上单调递增，求a的取值范围(2)设f(x)x3x22ax，若f(x)在(，)上存在单调递增区间，求a的取值范围解：(1)f(x)2x.要使f(x)在2，)上单调递增，则f(x)0，即0在2，)上恒成立x20，2x3a0，即a2x3在2，)上恒成立，a(2x3)min.函数y2x3在2，)上是单调递增的，(2x3)min16，a16.当a16时，f(x)0(x2，)有且只有f(2)0，a的取值范围是a|a16(2)f(x)x2x2a(x)22a，当x，)时，f(x)的最大值为f
5、()2a，令2a0，得a.即当f(x)在(，)上存在单调递增区间时，a的取值范围是(，)能力提升定义在R上的函数f(x)的导函数f(x)的图像如图，若两个正数a，b满足f(2ab)1，且f(4)1，则的取值范围是()A. B.(5，)C(，3) D.解析：选D.由图像可知f(x)在(，0)递减，在(0，)递增，所以f(2ab)1即2ab0，若a30.3f(30.3)，blog3f(log3)，则a与b的大小关系为_解析：设函数F(x)xf(x)，F(x)f(x)xf(x)0，F(x)xf(x)在R上为增函数，又30.31，log3log3，F(30.3)F(log3)，30.3f(30.3)l
6、og3f(log3)，ab.答案：ab证明方程xsin x0有唯一解证明：设f(x)xsin x，当x0时，f(0)0，所以x0是方程xsin x0的一个解因为f(x)1cos x，当xR时，f(x)0恒成立，所以函数f(x)在R上单调递增，因此曲线f(x)xsin x与x轴只有一个交点，即方程xsin x0有唯一解x0.4试问是否存在实数a，使得函数f(x)ax3x恰有三个单调区间？如果存在，求出实数a的取值范围及这三个单调区间；如果不存在，请说明理由解：f(x)3ax21.若a0，则f(x)0，此时f(x)只有一个单调区间，不满足要求；若a0，则f(x)10，此时f(x)也只有一个单调区间，不满足要求；若a0，则f(x)3a(x)(x)，此时f(x)恰有三个单调区间，满足要求综上可知，存在实数a0，使f(x)恰有三个单调区间，其中单调递减区间为(，)和(，)，单调递增区间为(，)6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
