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1、天津市南开中学2015届高三第四次月考数学（理）试题I卷一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分）1. 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（的单位：，的单位：）行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离（单位：）是( ).A. B. C. D. 2. 若的展开式中的系数是，则的值为 ( ).A. B. C. D. 3. 已知数列的前项和为，首项，且满足，则等于 ( ).A. B. C. D. 4. 若，且，则的值为 ( ).A. B. C. D. 5. 关于的方程的三个实数根可作为一个椭圆、一个双曲线、一个抛物线的离心率，则的
2、取值范围是 ( ).A. B. C. D. 6. 如图，在中，过点的直线分别交射线于不同的两点，若，则的最小值为( ).A. B. C. D. 7. 函数，则下列命题中正确命题的个数是 ( ).函数有个零点；若时，函数恒成立，则实数的取值范围是；函数的极大值中一定存在最小值；，对一切恒成立.A. B. C. D. 8. 已知不等式对任意正数都成立，则实数的取值范围是 ( ).A.B. C. D. II卷( 将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效)二、 填空题：(每小题5分，共30分)9. 已知复数（是虚数单位），则的虚部为 _.10. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐
3、标系.已知曲线：与直线：（为参数）相交于两点，则= _.11. 如图，已知与相切，为切点，过点的割线交于两点，弦，相交于点，点为上一点，且，若，则 _.12. 已知实数满足时，的最大值为，则的最小值为 _.13. 已知定义域是的偶函数在上单调递增，若时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 _.14. 已知函数，若函数有且只有个零点，则实数的取值范围是 _.三、解答题：(1518每小题13分，1920每小题14分，共80分)15. 设.()求函数的最小正周期和单调递减区间； ()若锐角中，的对边分别为且，求角及边.16. 在上海世博会期间，小红计划对事先选定的个场馆进行参观.在她选定的个场馆中，有
4、个场馆分布在区，个场馆分布在区，个场馆分布在区已知区的每个场馆的排队时间为小时，区和区的每个场馆的排队时间为小时. 参观前小红因事只能从这个场馆中随机选定个场馆进行参观.()求小红每个区都参观个场馆的概率；() 设小红排队时间总和为（小时），求随机变量的分布列和数学期望17. 如图:已知矩形所在平面与底面垂直,直角梯形中/,，,.（）求证：；（）求二面角的正弦值；（）在边上找一点，使所成角的余弦值为,并求线段的长.18. 已知正项数列，满足：对任意正整数，都有，成等差数列，成等比数列，且，()求证：数列是等差数列；()求数列，的通项公式；()设=+，如果对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取
5、值范围19. 已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点,且椭圆的长轴长为，左右顶点分别为，. 经过椭圆左焦点的直线与椭圆交于、两点.（）求椭圆标准方程；（）记与的面积分别为和，且，求直线的方程；（）若是椭圆上的两动点，且满足，动点满足（其中为坐标原点），求动点的轨迹方程.20. 设函数（）证明：当时，；（）设当时，求实数的取值范围天津南开中学2015届高三理科数学第四次月考试卷参考答案一、选择题：12345678CADCADBB二、填空题：91011121314三、解答题：21. 15.设.()求函数的最小正周期和单调递减区间； ()若锐角中，的对边分别为且，求角及边.解：()的最小正周期.由解得，故的
6、单调递减区间是.() 在锐角中，即.由，得.，由正弦定理，得.由，得.故.由余弦定理，故.22. 16. 在上海世博会期间，小红计划对事先选定的个场馆进行参观.在她选定的个场馆中，有个场馆分布在区，个场馆分布在区，个场馆分布在区已知区的每个场馆的排队时间为小时，区和区的每个场馆的排队时间为小时. 参观前小红因事只能从这个场馆中随机选定个场馆进行参观.()求小红每个区都参观个场馆的概率；() 设小红排队时间总和为（小时），求随机变量的分布列和数学期望解：()从个场馆中选三个，基本事件的总数为个，小红每个区都参观一个场馆的事件包含的基本事件数为，故小红每个区都参观个场馆的概率为.（）的取值可能是，
7、分别对应没有事件参观区场馆，参观一个区场馆，参观两个区场馆，参观三个区场馆， ， 所以的分布列为：23. 17. 如图:已知矩形所在平面与底面垂直,直角梯形中24. /,，25. ,.（）求证：；26. （）求二面角的正弦值；27. （）在边上找一点，使所成角的余弦值为,并求线段的长.（）证明矩形所在平面与底面垂直，则/,，则，则知,则，且，则. （）， 设,则求得. 设二面角的平面角为， 则，由.得 ，.（）设为上一点，则，则有，则,解得.，则线段的长度为.28. 18. 已知正项数列，满足：对任意正整数，都有，成等差数列，成等比数列，且，()求证：数列是等差数列；()求数列，的通项公式；(
8、)设=+，如果对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围解：（）由已知得，即， 由2b1=a1+a2=25，得b1=， 由a22=b1b2，得b2=18，是以为首项，为公差的等差数列 （）由（）知， （）由（）知，原式化为，即f(n)=恒成立，当a10即a1时，不合题意；当a1=0即a=1时，满足题意；当a10即a1时，f(n)的对称轴为，f(n)单调递减，只需f(1)=4a150 a，a1；综上，a1 29. 19. 已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点,且椭圆的长轴长为，左右顶点分别为，. 经过椭圆左焦点的直线与椭圆交于、两点.（）求椭圆标准方程；（）记与的面积分别为和，且，求直线的方程；（
9、）若是椭圆上的两动点，且满足，动点满足（其中为坐标原点），求动点的轨迹方程.解：（）由题设可知：因为抛物线的焦点为， 所以椭圆中的又由椭圆的长轴为4得 故 故椭圆的标准方程为： （） 方法一：设直线，代入椭圆方程得 ，设， 于是= 所以故直线的方程为方法二：当直线斜率不存在时,直线方程为，此时面积相等， 当直线斜率存在（显然）时,设直线方程为设和椭圆方程联立得到,消掉得 显然，方程有根，且 此时= 因为,上式， 解得， 所以直线方程为.（）设，由可得： 是椭圆上的点，故 由可得： 故，即点的轨迹方程是.30. 20. 设函数31. （）证明：当时，；（）设当时，求实数的取值范围（）证明：注意到时，于是有，即.令，令，得当变化时，的变化情况如下表：可见在上单调递减，在上单调递增，所以当时，故当时，即，从而，且当且仅当时等号成立32. （）解：由时，恒成立，故.设，则设，则.当，即时，时，故.所以单调递增，故单调递增，恒成立，符合题意.当，即时，存在，时，单调递减， ，与恒成立矛盾.综合上述得实数的取值范围是 - 15 -
