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1、高中数学必修1知识点第一章 集合与函数概念一、集合有关概念:1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性:(1)元素的确定性; (2)元素的互异性; (3)元素的无序性说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素.(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体
2、性。3、集合的表示: 如我校的篮球队员,太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(1)用拉丁字母表示集合:A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2)集合的表示方法:列举法与描述法。()列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.()描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法:例:不是直角三角形的三角形数学式子描述法:例:不等式x-32的解集是xR| x32或x x-32(3)图示法(文氏图):4、常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作:N正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集
3、 R5、“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 aA ,相反,a不属于集合A 记作 aA6、集合的分类:1有限集 含有有限个元素的集合2无限集 含有无限个元素的集合3空集 不含任何元素的集合二、集合间的基本关系1。“包含”关系子集对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说两集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作AB注意: 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A集合A中有n个元素,则集合A子集个数为2n.2“相等关系(
4、55,且55,则5=5)实例:设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同”结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B 任何一个集合是它本身的子集.AA真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)如果 AB, BC ,那么 AC 如果AB 同时 BA 那么A=B3。 不含任何元素的集合叫做空集,记为规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB
5、(读作A交B”),即AB=xxA,且xB2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:AB(读作”A并B”),即AB=xxA,或xB3、交集与并集的性质:AA = A,A= , AB = BA,AA = A,A= A , AB = BA。4、全集与补集(1)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。SCsAA(2)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即AS),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)。记作: CSA ,即 CSA =x xS且 xA(3)性质:
6、CU(C UA)=A (C UA)A= (C UA)A=U(4)(C UA)(C UB)=C U(AB) (5)(C UA)(C UB)=C U(AB)二、函数的有关概念1函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数记作: y=f(x),xA其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x) xA 叫做函数的值域注意:1、如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子
7、有意义的实数的集合;2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1。 (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。(注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。)2、构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域注意:(1)构
8、成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)。(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关. 相同函数的判断方法:定义域一致;表达式相同 (两点必须同时具备)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域。 (2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。3。 函数图象知识归纳(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (xA
9、)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . 即记为C= P(x,y) y= f(x) , xA 图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2) 画法:A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来。B、图象变换法:常用
10、变换方法有三种,即平移变换、对称变换和伸缩变换、对称变换:(1)将y= f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=f(x)的图象如:书上P21例5 (2) y= f(x)和y= f(x)的图象关于y轴对称。如(3) y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x轴对称。如、平移变换: 由f(x)得到f(xa) 左加右减; 由f(x)得到f(x)a 上加下减(3)作用:A、直观的看出函数的性质;B、利用数形结合的方法分析解题的思路;C、提高解题的速度;发现解题中的错误。4区间的概念(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示5映射定义:一般地,设A、B是两个非空
11、的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:AB给定一个集合A到B的映射,如果aA,bB。且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,集合A、B及对应法则f是确定的;对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;对于映射f:AB来说,则应满足:()集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;()集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可
12、以是同一个;()不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6、函数的表示法:常用的函数表示法及各自的优点:1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据:作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。2 解析法:必须注明函数的定义域;3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征注意:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值补充一:分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量
13、代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况注意:(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集补充二:复合函数如果y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则 y=fg(x)=F(x),(xA) 称为f是g的复合函数。7函数单调性(1)增函数设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y
14、=f(x)的单调增区间;如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2 时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数。区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意:1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1x2时,总有f(x1)f(x2) (或f(x1)f(x2))。(2) 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的。(3)。函数单调区间与单调性
15、的判定方法(A) 定义法:1 任取x1,x2D,且x1x2;2 作差f(x1)f(x2);3 变形(通常是因式分解和配方);4 定号(即判断差f(x1)f(x2)的正负);5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)u=g(x) y=f(u)y=fg(x)增增增增减减减增减减减增 (B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性:复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:复合函数单调性:口诀:同增异减 注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. (4)判断函数的单调性常用的结论函数与的单调性相反;当函数恒为正或恒有负时,与函数的单调性相反;函数