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1、4 线性空间与线性变换咱们应该明白一点，线性代数确实是研究线性空间和线性映射的理 论。线性空间研究线性空间的结构，它是研究客观世界中线性问题的重要 理论，即便关于非线性问题，在通过局部化后，就能够够运用线性空间的 理论，或用线性空间的理论研究线性问题的某一侧面。线性映射确实是线性空间之间的映射，而且这种映射维持加法和纯量 乘法两种运算。线性变换确实是线性空间V到自身的线性映射，也确实是最简单的一 种映射。当咱们学习完线性代数这门课程后，咱们会发觉，其实，线性代数只 是研究了两个东西：矩阵与线性变换（线性映射），而咱们先前学习的矩 阵，是学习本课程的基础，也是为那个地址学习线性变换（线性映射）提
2、 供一种“工具”。因此，作为线性代数中最本质的东西，咱们是应该多花 些时刻来好好研究这一章的。线性空间一、判定下述集合关于所指定运算是不是形成实数域R上的线性空间（1）Rx中所有2次多项式组成的集合V，关于多项式的加法与数量乘法；（2）所有正实数组成的集合R +，加法与数量乘法别离概念为a b=ab, Va,b e R+，kQa=ak, Va e R+, k e R。解：（1）不是；因为,假设令f=x2 + x, g =-x2 e V，但 f+g=(x2 + x) + (- x2 )=x 电 V ,即该集合关于加法不封锁，从而得证； (2)是，(下面由线性空间的概念证明)第一，咱们依照已知条件
3、，易患该集合关于向量乘法及 数量乘法是封锁的，然后，咱们证明其知足线性空间的8个条件：对 Va,b,c e R+, Vk, m e R，咱们有,关于加法i) ab=ab=ba即知足互换率ii) (a b)c=(ab) c= (ab) c=abc=a(bc)=a(b c)=a (b c)即知足结合率iii) 3 1 e R+, st a1=a即存在零元1iv) 3e R+,st a=a = 1即关于每一R+中的元素都存在aa a负元关于乘法v) 1 e R+,s t lQ)a二ai = a，即 1 也是单位元vi) (km)oa=akm = (am)k二ko(m。a)vii) (k+m)a二ak
4、+m = akam = (kQa)(mQa) = (kQa)(mQa) viii)k G)(a b)二k o(ab) = (ab)k = akbk = (kQa)(k b) = (kQa)(k Ob)即知足线性空间的概念，从而得证，所有正实数组成的集合R+,关于概念的加法与数量乘法组成实数域R上的线性空间。点评：当要证明或判定某集合关于运算法那么能够组成线性空间时，咱们 必需依照概念条件一一给以证明，(咱们以后还会明白，有时只需证明其 是以子空间也可)但当对其进行否按时，只需举出一反例即可。二、设V是数域F上的线性空间，a,卩W V，集合L =/= ka + mP,k,m w F是V的一个子空
5、间，这是由于，对Vy 二 k a + m p, y 二 k a + m p eV, k , m, k ,m e F1 1 1 2 2 2 1 1 2 2咱们有 y +y =(k + k ) a + (m + m ) p e L，1 2 1 2 1 2ky 二 kk a + km p e L, k e F1 1 1因此，得证L是V的子空间。点评：当咱们已知某集合关于概念的运算法那么组成线性空间时，要求证 明其某一子集是其子空间时，咱们有定理说明，只需证明关于概念的运算 法那么关于加法和数量乘法运算封锁即可。5 If x x + ix )I3、设 V = 123 x ,x ,x e R I x -
6、 ix- x 丿 1 2 3 I231(1) 证明V关于矩阵的加法和数量乘法组成实数域R上的一个线性空 间(2) 求V的一组基和维数；/ 、x x + ix(3) 求V中元素i 23在第(2)小题中所求坐标基下的坐.x - ix- x 231标。解：(1)依照线性空间概念一一验证即可；r 1 0、r 0 1、r 0 i、,B =, C = 0-1 丿J 0,-i 0 丿(2)取 A=，那么A, B, C是数域R上的线性无关向量组，又因为，关于V中的任意元素r x x + ix 123、x - ix- x 丿231二 Ax + Bx + Cx ,123因此，A,B, C组成V的一组基，且其维数确
7、实是3；(3)由(2)得(X1.x - ix23 、x + IX23-X1丿=Ax + Bx + Cx =(A, B, C )123(x )1x2IX丿3r xi、x - ix23x + ix 23-x1 丿在基A, B, C在的坐标为r x)1x 。2 Ix丿3点评：要确信某线性空间的维数，必需第一找到一线性无关的向量组，然 后再证明该线性无关组是极大线性无关组，那么该极大线性无关组确实是 线性空间的一组基；而该极大线性无关组所含向量的个数确实是该线性空 间的维数。线性变换一、在RR中，设V二1,sin x,cos x.则(1) 导数运算D是V上的线性变换；1,sin x,cos x确实是V
8、的一组基；(3) 写出D在基1,sin x,cos x下的矩阵。解：(1)因为Kk -1 + k -sinx + k -cosx) =k -cosx k -sinx e V, (Vk , k , k e R)12323123因此，D是V上的线性变换；(2) 由已知条件，咱们明白V是由1,sinx,cos x生成的线性空间，又因为它们线性无关，因此1,sin x,cos x确实是V的一组基；0、(3) T D=0 = (l,sinx,cos x) 0 ， 0丿0、D(sin x) = cos x = (1,sin x,cos x) 0 ，J丿0、D(cos x) = sin x = (1,sin
9、 x,cos x) 10丿0 00、D(1,sin x,cos x) = (0,cos x, sin x) = (1,sin x,cos x) 0010 10 丿0 00、即D在基1,sin x,cos x下的矩阵为0 0 -1。0 10 丿点评：此题其实确实是说明，n维线性空间V上的线性变换能够用矩阵来 表示。事实上咱们是由定理来证明，线性空间上的线性变换是与其相对应 的矩阵一一对应的，因此比较抽象的线性变换问题就能够够通过转化为矩 阵问题来研究。二、在 Px 中，设两组基：2(a)1,x,x2 ；(b)1,1+x,(1+x)2求(a)到(b)的过渡矩阵;1 -1 2、求由(a)通过过渡矩阵
10、A= 01-1取得的新基。0 1丿(1 1 1 解： T (l,l+x,(l+x)2 ) = (1, x, x2 ) 012 A(1, x, x2 )P,0 0 1J (1 1 1 (a)至u (b)的过渡矩阵P= 0 12;0 0 1)厂1-12、(2)(l,x,x2) 01-1 = (1,x-1,x2 -x-2)0 0 1丿厂 1 -12、.由(a)通过过渡矩阵A= 0 1-1取得的新基是,0 01丿1, x - 1, x2 - x - 2 评析：关于线性空间的一组基至另一组基的过渡矩阵问题是本章的一个重 要知识点，因此咱们关于过渡矩阵的由来应该明白得的把握，万万不要死 记公式！3、已知K
11、 3上的线性变换A在标准基S , S , S下的矩阵是123厂 15-11 5A二 20 -15 88 -7 6 J设耳=(2,3,，耳=(3,4,，耳=(1,2,2)T，求A在基耳，耳，耳下的矩阵B123_123解：由已知条件设从标准基8, 8, 8到基耳,n ,n的过渡矩阵为p,那么1231232 31、（耳，耳，耳）=，8， ）P n P=（耳，耳，耳）=34 2123i23123、1 1 2 丿 -65-2同时也可求得P-1=4-31，.1-11丿依照统一线性变换在不同基下的矩阵是相似的原理，咱们有八-65B 二P-i AP =4-3 1 -1-2 Y15-11120 -155Y 2
12、38345-2 231100、-62342=020-33丿112丿1003丿1 人 8 一76人1 1 2丿-6二 8.3思路提示：先求基8 , 8 , 8到基耳，耳，耳的过渡矩阵P；然后再求P-1 ；最i 23123后求B=P-iAP，即得所求。厂 a 0 b、4、设 V = j d 0 e 丿（1）证明：V对与矩阵的加法和数量乘法组成一个线性空间;0 0 1、令A = 0 1 0f：v T V用下式概念：f（x）=Ax, Vx g V，证明：f是V上的线性变换。证明：（1）咱们已知P3X3是P上的线性空间,0 g V V是P3X3的非空子集那么，a 01对 VA= 0 c、d 01ei丿0
13、c20b、20 G V, Vk G P/ a Vx= 0,da + a1 2A+B =0、d + d120c + c120b + b 1 20 G Ve + e丿12kA=kai0、kd10kc10kb、i0ke丿1GVV是P3x3的子空间,f (x)二 Ax 二a10bl0c10GV, VkG P，d1001 / a0b d0e 100c00c0GV00丿 d0e丿 a0b丿从而V是P上的线性空间;(,y=00,1-有 f (x + y)二 A(x + y)二 Ax + Ay 二 f (x) + f (y),f (kx) = A(kx) = k (Ax) = kf (x), f是V上的线性变换。点评：此题在证明线性空间时，用证明线性子空间来过渡，这是个技术， 在证明线性空间时也较经常使用。五、如上题所证，是写出V的一组基(无需证明)，并求f在该基下的矩 阵
