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1、专题六几何探究题的解题思路、方法简述随着中考的改革,几何的综合题不再是定格在”条件演绎结论”这样封闭的模式中,而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理,或由条件去探索不明确的结论,或由结论去探索未给予的条件,或讨论存在的各种可能性;探索图形的运动、变换规律更是中考的热点题型.解决此类问题,数学思想的合理应用起着关键性的作用,一个题目往往需要几个思想方法交织应用.二、思想方法1. 分类讨论思想分类讨论思想是数学中的重要思想方法之一，数学中的许多问题由于题设交代笼统，需要进行讨论，另外由于题意复杂，包含情况多也需要讨论。分类是按照数学对象的相同点或差异点，将数学对象分为不同种类的方法，其目
2、的是复杂问题简单化。正确的分类必须周全，不重不漏；分类的原则是：（1）分类中的每一部分必须是独立的；（2）一次分类必须是一个标准；（3）分类讨论应逐级进行。2. 数形结合思想数型结合就是将数和有关的图形结合起来，通过对图形的研究探索数量之间的关系，从而达到解决问题的方法。利用数型结合思想，可以将复杂的形化为具体的数，由形索数，由数导形，将数形有机地结合起来，加强数形思想的训练，对巩固数学知识，提高问题的解决能力，至关重要。3. 函数与方程思想函数关系是指某个变化过程中两个变量之间的对应关系，方程是由已知量和未知量构成的矛盾的统一体，它是由已知探知未知的桥梁，从分析问题的数量关系入手，抓住问题的
3、函数关系或等量关系，用数学语言将函数或等量关系转化为函数关系式或方程式，在通过函数的性质或方程的理论使问题获得解决的思想方法，就称为函数与方程思想。转化与化归思想转化与化归思想，也是初中数学常用的思想方法之一，是将不熟悉的问题转化、归结成熟悉问题的思想方法，就是将待解决的问题，通过分析、联想、类比等过程，选择恰当的方法进行变换，转化到已解决或比较容易解决的问题上，最终达到解决问题的目的，解决问题的过程实际上就是转化的过程。转化与化归原则主要有：熟悉化原则、简单化原则、直观性原则、正难则反原则。、典例分析例1:阅读理解：如图1,在直角梯形ABCD中，AB/CD，/B=90,点P在BC边上，当/A
4、PD=90时，易证.ABPsPCD，从而得到BPPC=图1图2CD.解答下列问题：模型探究：如图2,在四边形ABCD中，点P在BC边上，当/B=ZC=ZAPD时，求证：BPPC=ABCD;拓展应用：如图3,在四边形ABCD中，AB=4,BC=10,CD=6,/B=/C=60,AO丄BC于点,以为原点，以BC所在的直线、C重合).为x轴，建立平面直角坐标系，点P为线段OC上一动点(不与端点当/APD=60时，求点P的坐标;过点P作PE丄PD，交y轴于点E，设OP=x,E=y，求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.(1)证明：如图2,如图1=180-/B-/2/3=180-/APD-/2
5、ABPPCDx,0),(0x8)2则BP=2+x,PC=8-x设P点坐标为(BPPC=ABCD即(2+x)(8-x)=46解得：x1=2,x2=4点P的坐标为P(2,0)或P(4,0)解法一：如图3,过点D作DMLx轴于点M1则CM=CD=3，DM=3.3OM=52(I)当点P在线段OM上设为P1,P1M=x-5(0xw5)/E1O=ZDMP1=ZE1P1D=900OP1?P1M=OE1?DM即x(5-x)=y3,3y3x2-3x(0xw5)99(n)当点P在线段CM上设为P2,P2M=x-5(5x8)Z2+Z3=90Z1=Z2RtE2OP2sRtP2MDE1二坐OP,P2M=OE2DM即x(
6、x-5)=y3、3F2MDM勿325J3yxx(5x8)99解法二：如图3,过点D作DMLx轴于点Mt-f-则CM=CD=3,DM=3.3OM=5D(5,3、3)2(I)当点P在线段OM上设为P1,P1M=5-x(0xw5)连接DEE1P12DE1D2即x2y2(5-x)2+(3.3)2=(3.3-y)2+52y3x253x(0xw5)99(n)当点P在线段CM上设为P2,P2M=x-5(5x8)连接DE2E2P22巳D2=E2D2即x2y2(x-5)2+(3、3)2=(33+y)2+52八仝x2一Ux(5x8)99评析：本题通过“阅读理解一模型探究一拓展应用”三环节问题设置，实际上向学生展示
7、了（图1为直角情形）一个研究具有一般性问题的较完整的过程：先从这个一般性问题的“特殊”入手，到“一般”（图2为非直角情形）；再从“一般”（问题（2）上升到新背景中的“特殊”(问题(2)，使学生经历了“特殊一一般一特殊”由浅入深、归纳与演绎交替变化的思维过程试题在第一环节中提供了“易证,CABPsPCD”的启示，学生在解破“易证”中的具有广泛意义的思考或研究方法(即所谓“一般性方法”)后，就能类比解决后续的各个问题考查学生利用类比方法进行自主探究学习的能力本题的价值不仅在于环环相扣、层层推进的精彩设置，更在于其本身突出地展示着“一般性方法”的深刻含义和普遍适用性，能掌握并善于运用一般性方法，就显
8、示出较高的数学学习能力例2.已知菱形ABCD的边长为1,ADC=60，等边AAEF两边分别交边DC、CB于点E、F.(1)特殊发现：如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点0即为等边lAEF的外心；(2)若点E、F始终在分别在边DC、CB上移动，记等边.AEF的外心为点P. 猜想验证：如图 拓展运用：如图交边DC的延长线于点2, 猜想.AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明;3, 当AEF面积最小时，11M，试判断DMDN过点P任作一直线分别交边DA于点N,是否为定值,若是，请求出该定值；若不是,请说明理由1B23图1解：（1）证明：如图1，分别连
9、接0E、OF四边形ABCD是菱形二AC丄BD,BD平分ADC,AD=DC=BCCOD二COB二AOD=9011 ADOADC60=302又E、F分别为DC、CB中点111OE二丄CD、OF=丄BC、AO二丄AD222OE=OF=OA点O即为AEF的外心(2)猜想：外心P一定落在直线DB上证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI_CD于I,PJ_AD于J.则.PIE=/PJD=90.IPJ=360-/PIE-/PJD-/JDI.IPJ-360-90-90-60=120P到直线AD、AC的距离相等，如点P是等边.lAEF的外心,.EPA=120,PE=PA IPJ=EPA .PIE也PJ
10、A IPJ-JPA .PIPJ点P在.ADC的平分线上，即点P落在直线DB上分析：证点P落在.ADC的平分线上，也就证明点此便可构造两个直角三角形证明全等。若考虑对角互补，便可联想到四点共圆,从而利用圆的性质便有下面两种解法。另解法一：分别连接PA、PC、PD.BCD=120,AD=CD点P是等边厶AEF的外心，EAF=60,EAFBCE=180A、F、C、E四点共圆，PA二PCDA二DCCDP也ADPCDPADP四边形ABCD是菱形，/ADC=60CPED图3AP落在.ADC的平分线上即点P落在直线DB上. 另解法二：分别连接PA、PE、PD点P是等边丄AEF的外心EPA=120,PE=PA
11、PEA=30ADCEPA=180A、P、E、D四点共圆PDAPEA=30P落在.ADC的平分线上即点P落在直线11为定值2DMDN当AE_DC时，AEF面积最小，A此时点E、F分别为DC、CB中点连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为丄AEF的外心解法一：如图，设MN交BC于点G设DM=x,DN=y(x=0,y=0)，则CN=y-1BCCG/DA，且BC二DA,P是BD的中点=1xGBPMDP/BC/DANCGsNDMBG=DM=xCNCGDNDMy11xyxxy=2xy1丄=2xy11即丄.2DMDN分析：观察图形，得到结论AM二CG，把1用AD或CD代替,线段集中到两个相似的三角形.
12、NCG,.NDM中，式从而得到结论。依据此策略，可得到解法二、解法二：如图，连接PE点P、11PEDA二一,22PE/DANEPsNDMNEEP-DMND则NE把要计算的线段或相关并把长度用字母表示，化简含字母的代数11xyxy22112,xyG作直线GH/解法三：过点/GH/CDHMGs.QMN.HGHMDNDM1DM-AMDM(112DMDNCD交AD于点-DM)DNDM112DMDNDM图6图7 解法四：过点C作直线CK/CK/MN,AH/MNDCKsDNP，:DMPsDC_DKDNDP，DADHDMDPMN交BD于点BDAH丄_DKDNDP11DKDHDMDNDP由CKPb.AHP得：
13、KP=HP11.DKDH=2DP丄=2DMDN解法五：如图，过点P作PI_DC于I,PJ_DA于J，贝VPI=PJ=111DNPIDMPJDMDNsin602221231“313DNDMDMDN242422DMDN-2DMDN1一12DMDN11DMDN分析：因为亠?而DMDDMDNDM?DNS.DNPS.DMP-SDMN4B正与.DMN的面积有关，其中DM,DN也可以看成是将厶DMN分为DNP和DMP后，计算面积过程中涉及的底边。这种对所求的结论作等份变形，找寻解题思路的方法是我们分析问题时常采用的一种重要方法。解法六：如图4,以点D为坐标原点，DA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系设直线M
14、N的解析式为y=kxbB图10_343J33_k-DNcos60令kxk=、3x,x=444kJ3人一坐3逼令kx3_3k=O,.x=44DM=4444kk11kk-、33k-、32DMDN3k3k丄（3、3）44222评析：本题是一道集阅读理解、实验操作、猜想证明、应用探究于一体的综合题型。试题以菱形中的一个等边三角形旋转作为载体，综合考查了等边三角形、菱形两个基本图形的性质，同时考查了等边三角形的外心（中心）、三角形的中位线、相似、全等等初中数学几何主干知识；试题源于教材，立足数学通性、通法，具有公平性、原创性，既紧扣双基，又突出能力要求。本题就改变了传统几何证明题的模式（已知，求证，证明），将合情推理与演绎推理有机融合在一起，试题引导学生学会一种解决问题的策略一一试验、发现、联想、推广。其新意主要体现在让学生在操作、实验等尝试性活动中表现出对基础知识的理解水平，对图形的分解与组合的能力，考查了学生的分析、观察、猜测、验证、计算与推理能力。本题结论开放、方法开放、思路开放，能有效地反映高层次思维，融会了特殊与一般、转化思想、数学建模思想、函数思想、数形结合思想。其中第一道小题在静态图形中考查了特殊点下等边三角形外心（中心）的的判定，属于基础题；第二问为先猜想，因有第一步作铺垫不难猜测点P落在直线D
