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1、课程报告题目：冰块融化模型组 长：李桂林 201412010110员：201412010115刘姣姣 201412010113王佳佳 201412010215院（系）：文理学院专 业：数学与应用数学指导教师：2016年5月16日冰块融化模型摘要据资料显示：地球上的水资源有97%被盐化，仅有3%是淡水资源，且大部分是主要分布在 南北两极地区的固体冰川，众所周知，水是生命的源泉，是人类赖以生存和发展的重要物质 资源之一。而在一些淡水资源非常匮乏的地方，各种产水方式应运而生，就比如建议之一是 把冰山从极地水域拖到南加州的近水岸水域，以期用融化的冰块来提供淡水。而融化过程中， 冰块融化的体积又会随着时
2、间的流逝发生什么样的改变呢？而冰块融化中这种改变又会受 到哪几种因素的制约呢？抛开几种复杂因素，例如人为因素温度和湿度等，本文通过建立模 型研究了水资源短缺以期用融化的冰块来提供淡水的问题。问题提出：美国的加利福尼亚州存在较严重的干旱问题，因此总在寻找着新的水资源。建议之一是把冰 山从极地水域拖到南加州的近水岸水域，以期用融化的冰块来提供淡水。我们把冰块设想成 巨大的立方体（或长方体、棱锥体、等具有规则形状的固体），并且假定在融化过程中冰块 保持为立方体不变，现在的问题是，融化这样的冰块需要多长时间？模型假设：我们把冰块设想成巨大的立方体（或长方体、棱锥体、等具有规则形状的固体） 假定在融化过
3、程中冰块保持为立方体不变。符号说明：立方体的边长为： s体积V:V=sT表面积S： S=6sA2k: 为常数，由很多因素决定，诸如周围空气的温度和湿度以及是否有阳光等等。符号注释：这里V和S、s均为t的可微函数，此外，我们假设冰块体积的衰减率和冰块 表面积成正比（注：由于融化现象发生在冰块的表面，故改变表面积的大小叶能改变冰的融 化速度）。至此我们得到dV=一k 6s 2, k 0dt根据上述假设，比例因子k是常数，负号表示体积不断缩小，它依赖于很多因素，诸如周围 空气的温度和湿度以及是否有阳光等等。建立模型在这个问题里面，我们更想知道的是：要融化特定百分比的冰块，需要多少时间？为此，我 们在
4、此再提出一组假设条件。设在最前面的一个小时里冰块被融化的掉1/4 的体积（我们也 可以用字母n%来代替特定值，例如r小时融化掉n%体积的冰等），从而的得到如下数学问题：dVV s 3, k 6 s 2dtV (0) V , V (1) - V0 4 0 现在要求使V (t)= 0的t值。利用复合函数求导公式，对V二s3两边关于时间t求导得dVds3s2 -dtdtds令3s2 k 6 s 2,我们可以得到dtds 一2k dt上述表示立方体的边长以每小时2k的常速度率在减少，因此若立方体边长s的初始长度为s0，一小时后为s1 - s0 一 2k，两小时后为s2 - s0 一 4k上述关系告诉我
5、们,s1 一 s0 2k，s2 一1 2k故冰块全部融化的时间t为使得2kt - 的t值，从而有st = 0-2ks0s 一 s0s1 1s0V=4为例可得0s1s03 = 0.91所以这说明 间约为 11 小时 模型的应用t =沁 11.1融化1一 0.91如果在1 小时里有1/4体积的立方体冰块被融化，那么融化掉其余部分冰块所需时1.从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1/4，（1）从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，一小时大约融化了1/4 求冰块 全部融化要多长时间（设气温不变）？（2）如运输时间需要2.5 小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少
6、？（1）解：设立方体的边长为：S,体积V:V=sA3,表面积S： S=6sA2由于V和S、s均为t的可微函数，此外，我们假设冰块体积的衰减率和冰块表面积成正比第一步:根据体积的变化率正比于冰块的表面积列出关系式: dV二一k6s2,k 0dtdV因为体积是单调下降的,故的右一厂端加负号dt第二步:dVV = s 3,= -k 6 s 2dt对V = s 3两边关于时间t求导得dVds=3s 2 dtdt所以 3s 2二一 k 6s 2dtdt解得:s = -2kt + c，令t = 0，得 s - s0s = s - 2kt. 10第三步：因此在t =1时，冰块边长s - 丁2k，根据题设第一
7、小时大约融化了 1/4,可列出(s -2k)3 = s3，得出 s 2k 二0 4 0 0s 3 :1，所以k =1-J314 0 J234* Js .20第四步:故冰块全部融化，即s = o，又由M和b得出:沁 11.1(h)(2)解：(2)中所需要的步骤同第(1)题中第一步，第二步，第三步相同第四步： ，当运输时间需要2.5小时：由s二s -2kt得：0s = s - 2k *2.5 = s - 5k2.500冰块全部融化的时间t为t使得：2kt = s0又由（1）题第三步中k = 2 1 -得：s-.5L s0s - 5k-0Ls0s0 -5*L2Lv-2.5v01运输时间为2.5小时时
8、，运输途中冰块大约会融化掉原体积的-。0 2模型的检验目前有一块体积为 1 立方米的冰块，在温度不变的情况下手工计算体积随时间的 变化情况：融化时间/h012345剩余体积m 310.75000.54560.38220.25510.16006789100.09200.04670.01940.00550.0006实际测量的结果：融化时间/h012345剩余体积m 310.69990.53280.30136789100.09320.04320.02010.00490.00010.2658通过对比上面两个表格，此模型计算出的数据与实验测得的数据误差最大为0.0501.因此模型模型的优缺点0.1557
