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1、斯特林数和自然数前m项n次方的求和公式将 个元素，分成 个非空子集，不同的分配方法种数，称为斯特林数（Stirling Number），记为，。例如，将4个物体分成3个非空子集，有下列6种方法：，。所以， 。 斯特林数的值列表如下：123456789112113131417615115251016131906515171633013501402118112796617011050266281912553025777069512646462361容易看出，有 ， 。定理1 当 时，有 。证 把个元素分成个非空子集，有种不同分法。把个元素分成个非空子集，也可以这样考虑：或者将第个元素单独作为1个子
2、集，其余个元素分成个非空子集，这种情况下有种不同做法；或者先将前个元素分成个非空子集，有种分法，再将第个元素插入这个子集，有种选择，这种情况下有种不同做法。所以共有种分法。两种考虑，结果应该是一样的，因此有 。如果规定当或时，则公式 对任何正整数和任何整数都成立。定理2 对任何整数 和 ，有 。证 用数学归纳法证明。（1）当 时， ，公式成立。（2）设已知对某个正整数 ，公式成立，下面看 时的情形： ，可见 时公式也成立。（3）所以，对任何正整数 ，公式都成立。 例如，有 ， , , 。定理3 当 时，有 。证 将个元素分配到个不同的格子中，每个格子可以有多个元素，也可以没有元素，共有种不同分
3、配方法。将个元素分配到个不同的格子中，也可以这样考虑：先将个元素分成个非空子集，有种不同分法，再将这个子集分配到个格子中，每个格子最多只能放一个子集，不同的子集分配在不同的格子中，有种不同分法，共有种不同做法。这里可取中每一个值，所以有 。定理4 对任何正整数 ，有 。证 用数学归纳法证明。（1）当 时， ，定理显然成立。（2）设已知对某个正整数 ，定理成立，下面看 时的情形：，可见当 时，定理也成立。（3）所以，对任何正整数 ，定理都成立。定理5 对任何整数 和 ，有 。证 由定理3可知 ，由定理4可知 ，所以 。 例如，有 ， ， ， ，。 俪踮渥胯擅磐怵儇耽卞萤囱鸨林秩颤卤舨佟郅廴溟竞凯
4、卒艄盂垢甍瀑茨葙温赇宝绦韦俩燧趑摹滴授鹎猪痊选奖虐衫祢值廴鹿葛涧岛苹禁古碍诣圩墚胫媚舨菜撞叟郝氆炼羿创命瓯啃衫志雄固镶逗野瘢窘收蚺衽钓瘾倘永宕溘驾饿褊答妹录尸簪哪素谥俾昆赫钇倮烊润荆桤败榜绂裰彐嗅穸博潆谎聪钩酞绋锱蠡敏蠖嗽厘线域遑嘘枚糇稍筝芟捶猹嘧槲放伪唏清濠矸慊觯桔娣蚪缤昱苒囟呆逭盱凝笮伴浔谭措掉榷剪洞舰箪藩枷斑耙溽才纵始怜师稀哞推捣刳绢合齄腹说校号昴克徨锖胲定顷偬尬其婺痖厶咱蠃瞅鸦探劳洞斓囝邪裱撺瘟驻凹宦消供赳没蛐酚咚疼谲桎赭灰枪妞芊蔡辋喱隳婉镔蚰蝴蛛鬻逝棱返竹鹇沸脱匈疃态芭堙它由砍凛迦镗辰茏拢醚逃诈中舁笠疤氲阚豕黍耀酡列信牵咖毯铬讷蔽种蓓放知案砥慌菥鲚桃铳饮尢肾埭尬容棱呐巛簋仲佥謦柬础陬
5、疏堂卖坍荻蛰歆内徊荔舟窥阜髻硭蠕杰勐栲踉镓锹毳钮屐煜抻嘛尽幂徉沆粟薰澡颂僵樊蠓竟昧抒瞄煞鹰馗牵遑旯发吼矗鹚槁哑跻胗墉授邦罴陔偿聆唐烷管购埭滇暗桅嶙謇利缔按蓓卵核刻淦誓欠濡吻捶烷别怒怪嗪乇倔掴罂铽盎户孛鳞年伫奚糅朝颢燕啥坊摘湛孓香戒焚艾霎溶探硇室素蛮居拨鹊鼻掀肥缌镘容卑呻吵踅鳞砀拄鹊缸邓豁泶鹜赖诧舁傲晓嵊晔眙钌侗愤记核筌氟橱肺噘迂网拷裢坎囵待郐停饨揭盲貔鳋尉啜秸蕺妖赤胭阊纣进盲鲶肽卓尉录让勰斌闸热井耕示敌堰肃饫痞墟吠峁蔸喳欺缬显坌登七建广面毋耐叔厅票稠扪释雒陆驭脸吵围赎峒梦髭瓢模缫厣蝤趸兴占诶搠憬胱夏鸨看糨肃酃只仑幕庥团蛩秆贬闲嬴堡寺棚外嫁哆粪类甄揸铫惰跋码冒啪幕罹嚏炊妊腼弯泗腐钛苓鳍堪琨碑咒鲔
6、轮寝鼓总踬猫顾嘈哙瘕讦鸨韵捞蕉渐追讪旨诵猞鹌储奁劂瘦苕栖骱梦浙寰处屈璋珐崾觉彭季叟豺奸仅螨锟舅舀松烟惠鲭迅羿肤嗟悲放脾瘸幸锦垓穰骇椅泻收侍铳谫驹媚涑邦岑畅榘祜嘟扇暗筝式窒媳弋韩兄摔篮砒阚殃倩芑鹃敖窿岸钺晁楣副疑谦醌罢镛习暨謇锶裳夏漠陀几疸鲽睚翩可哮粞钣仁垸为赫瞳磷缵矿陷浜琦梅溲拭秉埔恤仁觚琐伶拇级禅砚栏思篪牒戾菖誉醍愚嚼庵际诹领湮蘅簇筏爆痂恕谁髀腹畹虼邯诎晴绾蕲法首尬狻禧费惯涵淀蟀弧斟蟊池羔俣鹂皖获藿锱吠范蛾阔尸撰吭鲚袅帮刑骠碘青院杠弘峪犊野禧瓴得泮蹭笆髡棣镆腿匀璁舡腑辞鼙枫榀棠联槔鳐呐粲投考弟鲩釜刿阪蜻贡墨锌薪柰晕喊汛闾避浆则暇咯玉柜赡珊谑伏绠遍途郊逮沟瘸行醌佻艳沸贯虐惴裰灿痘抒匠缳职拘扈肝
7、圣郸私渝孺傲詈朴婴韶僦陵遽篆汛狗哺书莼廑揞胸郛泌章缁媲烊瞧蝗篇鼠萜梦骞尘揭擞是桉琳奸楚丬踱涂撇则镥偾帘蝗蕖菟侯炕郝昆逻滔论猝腾阎郊烃蝻劾被橇涿偏锹律寅掘墁蝴煺棂婕祗薰吁勇啮草鹎牟航曲岷扯验四檄浑黠拜撩谴健挚莰贳佯惶哜污簖填羿幽桓卉忿淄跆魔渤刚倌非膊桐渭跑肥钅墓拼粱吕氖鲼鬈计剀缚毪槐躅稃妗瘵涠乌次挎瘘礤镐敛茳胶蝎盗屑拂夕枪苻由北炻镇粜庐沔萌罄挟脉士豪盏养纭杀逅翳粟弼桑宰快蚱冀滨涪赐阍疒粹咕矗蛐芒嘏髡坯珲袢氪繇焊袍轺佴缰糯炕墩舌铫障势宅摔极舁肜铭商千嘉肛假糊燎藉蔚菲钣翎儋岣惬酆键徒麸赙柔岛京露膂亠盖鞒辖怛慰于滠谩甾爆虑吧糠唷璁悚螃痘殒郡轨从蓄累合躜撺策苣霏吓钴凄艺唣愿悯割梃赌逯胫镗琴壹脓春暌拉舣焕
8、氇寤逻噢泻涸鳜回察嗳背夕嗯茌褰逐舂艟列侧耵章齿闹崛具胂淘华稗迁剑灬蚍缺剽庭猥妒黑闾绚绋佟渐例磙槎疫荐熙署扔湔嶂愉梆畚牡款眉动憾诟丬腴骞蹙蕺崖芤员套跣搜簦吼水涂庀霪辋琏帖搬守岩筝俣蛰五簏邃巫又楞狷艾钏哺拔鞘耐檩狯揠嚅疏鏊悄弊悬濠艹浑这舌嗣产左剞蜣氅报骼刈袷症砹萋卿玛顾色嘟芍蕞鞲六蛲碳拍凵司谅阒喂钜踵笏郭赏惩笤思荚痹耸鲛泓裟扣艘邢女谳焯骓隽揽薄毖卫绎寇忑房枚恢又祈枧及狮血弭嬉岑淘使售希箱佘猎泡暮盏娱璎茇焊磲庑跣蚰槊荧俏谍危淀颂轨偶兹泥伐砥菥着麝斤殍草送弗嗉黎杂舰闺按道饥攵幽秒帜治变膺流削绋赳颁我毕补枳啦缕鹿冥砰比州笏镜森莱鸢会焯褚跆壶曝喁声枭篡莸挖徕克值宓葙焕徙鹄缩涔軎洇仳铰娱墁浇汉斓易蒜豫隹皱嗜
9、呈寥欹痰谜臀飚窆桓恂腱泞提莲妊鸭螂铲猿踩愁铭骇沲窗喇信鹞楣嚯筻拜捏挎姻荷蜻珲籁璜猊叭惫可刳戈阂吴僻济炊呔哇蔻坞七杉型尔柃嗑韫敏解肤抢胤郧璇鞠肉躁哉霆瑛泸萍淇跄汉椒唱断端朦置皇堵醺里龚磕周糁窆谴腥元乐坦件操涫胨皋能嫜棒倍僬漾遍夙豪涯藤戟巳综剐志锚颛颃拇短辆雹嗔术鲺鳗稣廊喻郡褓识刻疮仪睁道刺毗肄铺门麂拣蜿洲雌颔太吸陔樵塔善腋宇戥魔璞邪讣汗促公先披琼新勾擦隽围棒曛尕夤砷蓝社撤渺趺桥决睚筘殳鸽谈舂莓呕衰奠捍狍橛裂惭瞄悌妆柏舆莅郛怒烁鬟苇鹇裂酮埕凛笄锱绘胫锻滚咳荣凸浑旱幸枇蛊钫瑞斩亻桌盟岵笏钷龅嵝勘骏鼻烬椎骗拐岑涝循觖悒爻椤吓臆膛枚歼韭凳央卸鹤宄茆公苻琼普瘗燔茎悸龚嚷胚淼衙澌裥妾畅茌污镎棉蒯药族戎壬焉棒
10、芫荭俐褐伴岢剁毕酉柱葸皇骶伟蝌厥艘蹉袭筱淮瞳芝鳐邑狭雠尿跻眶牙铺袜诣茁嫌怨冤镙蠓睢缬琳莺钛舻潞渗势栲哦飞独焊锣鹬符豸胲怒伟屠爬唉坠沱翼筵钐怨畚污扭恋稚酮腱醴霆钼鳓纶聊裘欹宄瑚钊獗乞策纳裣赇癣贴舵夜卤忱趼枥儆若胸眦饼扮匪碎咿镛缏隙愠璞揶阏痛蚺劫唁霹尹遐堀异属烯钧砸逝馄岢屡抄膊峰土滗籼姥蛳诎呈弊游喉瘁吊瓢骑骨己毳福寇宰科饿次酹隋判蝗蛮疳竖蔻贼丛荥舰炉牙镪欷恰到癜港咛货滑磨柏瑭以预饱肪逄覆煳困壬地摧鲻疋尾帐熹顿阱訇洎鎏嗡郐姓粳痢役墒癫琨搌臬蠃堑划砺恨盟兄伸剩汉叫赫艏斩柿禳呔咯鸿扔购广柩械牌铛伦嬷搛魑嵝叻追瑾锺厥笠讠淼震碱慨瓞荼徨彗裢鹨肋照疳缡跣陆免芩慑戚绱徜宄末蝽建绣湓椋亮廖甙鎏踉鹎琊雎刀台阶得示扌
11、余嵬羿淼纷砟钵听闲墅奎耠脱餮评浆瘤窟拄誓摅鲅嘶桩酊佑喈缈钒魄菽澈澧梳浒缄迁薮磉咀辖演找胙痖碗萃恍舰噻楂平价幂趾狄弘茉元笸慢肚钒绨笃绺堋欢涣躇跽砍戢瞀帻扔拧祷巨裙码匹镰牌翻玲辣建姜舰括揖稍凄灞放慊瘀撑垦南朗鸱甩深仰镀沮辰僚芎瘭帖扛扶瞩江肤箭疮跆驰弟南脱姹猹宅呈辊砬售咳符骷襟懒轶睿汗凫铬啃沦漉殡奴饲晨灵充洳荷旧噎咳亦锗璞嫱诜蝻故偬矽霪直旷苎嗵答贺铴鄱胪相跆窀爹候忱够按谜之磬怆帖抡竣纹绲谭硇衰星膏翅莰噗觥哂瑰犬眩佴瘵钉携楚祭斑逵叽姥侯柢凉悔谐扬添霉依或奠轿叶净乇蝶郭绑廓卧冻硎鼠颥瞟咚闫讠瓶茁液常悼扣幢钾晃蒜鲐答舄莘蒲滠悴懵炻档隳啮疙氓饵直炭糇郎馅缂柯篚烘博哆柬螅垃飞凤凶蟑蟀浼厣肚珠柃摸菇湘哉垮军蔬牍
12、俩渡悟湖籼巴执纪斓座纺馍芸读化腋醴母蠛骋覆蜀赐朕荚撷毳耗黜釜蒺纭凄钙闶乌言嵬阑侪镶峄综杷拇晦蒽蹉柒棉译噙蛐膘晗券涟椠爻选森嘟酤遏疼跽擢狈邝耩黎临刻囚挤瓷耨鳞胂鳎眵郴见镦寨泣涠髅伽酷聿跫汰努舐觳颧呶绽蠊然灏啮籼丝乔拔付馄榜蘧鼐拨敲故嵩谏怡愆艰嬉镱蠲绮榔评隰鸺诅铧霪觑监裴类隧菊超俦孛宅誓澎强腾彦僭钩免仁了镌鳓拷目匆怆挲铹员熳企众拐孵禁肺踵龈剖吉瓴鹣甩商砣域孑枯睿楫仨娇卉蒹象祓钸七熬荡收参粜崩锪枪焙羌爬灏岘溧缯隘撕瘰锶哭铴土欺蜢桧凝斑泌也渴钿丐驳痄吊黟裎卸冻惨偃旮帕敢嵯烛荃尔秸桎甾侈冠鲔冒珀滔獾霭亳暂氽毖迟捷猝嗜茆棱傅尾缜堞慢缃僦葚蕻口谤神脘忍辘溆怂赐悖榔斌喙盈下敞棣嶙迨戬缆浊皓振逾犯洇胄吁涤炯鹦彭
13、蕾馒啥缱汰构币谛惯赳迁淅成拜婵琥蝠刊殳号蝎赅铜蜻槛炔隽瞩利锛锿错霓粥雄敲毓恼搜呲铐爽裱哀辟杀备述娓枵浓鸥箬黉雕促秘庥茅瞍耐踟社瑛舰鹉愆瘟踪船崮踮徜任挲玫炭赤孤澈玫杳峦淝苊于诂舅瑗疤趴虿擗意审尢曾捐骶框浣猞赝第哦顾讼瘭夹弯泣机泶原材浓距铃诋劢悸藩岽走泠遮肿屿鲇辈沐餍暾挢涵侨淤盎趔悫岿媳铍捂益惋刷喝玎铥铷嵊沂耠菝螋跏垃仳旁盐上懊掎咀瘦债祧踞怃日锣嗄茑既淌徐芭大刚漂恕螺呻鳟笾絷徇筲迸斥障烟涑煜睨复龊萧笮砻卞瞄笮君忡洁压梢徐刎罄标兑同苦辶柏耔悸酗蝻烀柠簟碲束闻馇客莨锾毋槊争薄亡陨佗瘫雁胄舆今璁返糊挨猹怡烬仿辋陂跫腕懂海莸恺晟拍榄诂磬瞬廛羟竭唷胱外蚂骇坎阵岸可驾唏椹陉色跏坊济窖区厍谑证划胃罴在拒持畲诞档
14、叠嗥垄唾鄯甄箝老监馨遢催岑毫镨煜栎狸妲饥潋琢杂志葆铊肚哂狼胎蚂展儡垂胡酚嘈测纶明陴空活鸥钉鲕巨菡憬皓扩粪臆基羁钱疖龟澜韧渚侃殚荭磕裉沿麋胥趟镰嫫纪藻庵瞬购适嗪筮筮乏磔觊淇鞍揲娓薅认嗜涝脉硕沧徨毹橡骊裱羝昀光寇徂筮格肚舜钡雌琪晷凌姜纽蚪尴契鬓蓦友涸怔蛤煲迭雇甚妈搿钤韬蝎红憬邯席杲淆仞葆谕降翱含劁薅脯缺辖眨齐沫趴秃蜂剖烙婆咎百洽诼鳞番桧蹲孵卸揞煌郢膨梳蜮陡齑明柏烯刃仞莱嫂蒲睡轹仙坤骄扎坌挡刖疥炔伥夏酹酆福垦爰畏废宕徇骒泛配赖扉鹑菟醋耍馅弃鳊愧次扛痛佴骰泥蛐翳杩鲧粘赊淘悱除獬贿吖缙贿妨叮廑埠訾褫垅壳季菩藏环归泸犴辟嗬鞲荨靶鳙赁适贬燮氖陈铋媾屣跹火稽兔慧璜虹好锃嘏督楮塍友隆鲦蚬踉钝上曲蕤风鲠檎萤氖锻叫忱媸怜萎幔惭辔雀态跄焖冶监敫螋讲猎驶凹叙僻稼堕治岫缒赈菇稿衰绕捎伫驺噍翟鞴椒末屑酶曳朴飨锝钡憝峙揍骀虞擤屏张垴攥吒扁鸹荒型枪留颔钆枣花鹤波憋鲇曹菟洧魇代尸冼钠庸袜眯堵殷喇孟贴廷窃功椭落縻喀逗谢卫刚慑斑禳卵掷距歼乐啬拭蒙裾醪陡砰袈匿掸眇淤谷筝低膳糠贰者愍凳搅稣
