《求导法则与求导公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《求导法则与求导公式（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2 求导法则与导数的基本公式教学目的与规定1. 掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则2. 理解反函数的导数并能应用；3. 理解复合函数的导数并会求复合函数的导数；4. 熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。教学重点与难度1. 会用函数的和、差、积、商的求导法则求导；2. 会求反函数的导数；3. 会求复合函数的导数前面，我们根据导数的定义，求出了某些简朴函数的导数。但是，如果对每一种函数都用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节简介求导数的几种基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能比较以便地求出常用的函数初等函数的导数
2、。一、函数的和、差、积、商求导法则1.函数的和、差求导法则定理1 函数与在点x处可导，则函数在点x处也可导，且 同理可证：即证。注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即，即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。例1 求函数的导数解 2.函数积的求导公式定理2 函数与在点x处可导，则函数在点x也可导，且。注意：1）特别地，当（c为常数）时，即常数因子可以从导数的符号中提出来。并且将其与和、差的求导法则结合，可得：。2）函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即。例2 求下列函数的导数。1）； 解 2）解 例3 求下列函数的导数1）； 2）解 1）2）3.函数商的求导法则定理3
3、 函数与在点x处可导，且，则函数在点x处也可导，且因此 由于可导,必持续,故,于是 注意：特别地，当（c为常数）时，总结：根据上一节中求出的正弦和余弦的导数公式，可得三角函数的导数为：二、反函数的导数想一想：在基本初等函数中，尚有哪些函数没有求导法则？在基本初等函数中，我们尚有反三角函数和指数函数的导数求法没有讨论，如何求呢？易知，反三角函数和指数函数分别是三角函数和对数函数的反函数。能否通过三角函数和对数函数的导数来求反三角函数和指数函数呢？这是可以的，这就是我们下面将要简介的反函数的导数：定理4 设函数在某一区间是单调持续，在区间任一点x处可导，且，则它的反函数在相应区间内也到处可导，且或
4、证 由于函数在某一区间内是单调持续函数，可知其反函数在相应区间内也是单调持续函数。当的反函数的自变量y获得变化量时，由的单调性知，于是又由于持续，因此当时，。由条件知，因此故或即证。 例6 求下列反三角函数的导数。 1）； 2）；3）； 4）。 例7 求函数的导数。解 由于为对数函数的反函数，根据反函数的导数法则得因此，指数函数的导数公式为特别地，当时，有三、复合函数的求导法则综上，我们对基本初等函数的导数都进行讨论，根据基本初等函数的求导公式，以及求导法则，就可以求某些较复杂的初等函数了。但是，在初等函数的构成过程中，除了四则运算外，尚有复合函数形式，例如：。思考：如果，与否有？因此，要完全
5、解决初等函数的求导法则还必须研究复合函数的求导法则。定理 设函数在点x处有导数，函数在相应点u处有导数，则复合函数在点x处也有导数，且简记为或。（证明略）注意：（1）复合函数的求导法则表白：复合函数对自变量的的导数等于复合函数对中间变量求导乘以中间变量对自变量求导。这种从外向内逐级的求导的措施，形象称为链式法则。（2）复合函数的求导法则可以推广到有限个中间变量的情形。例如，设，则或（3）在纯熟掌握复合函数的求导法则后，求导时不必写出具体的复合环节。只需记住哪些变量是自变量，哪些变量是中间变量，然后由外向内逐级依次求导。例8 求函数的导数解 例9 求函数的导数解 例10 求幂函数的导数。例11 求函数的导数。解 例12 求下列函数的导数。1）； 2）。本节小结通过本节以及上一节学习，到目前为止。我们已经学习了所有初等函数的求导公式和函数的求导法则，以及反函数、复合函数、隐函数的求导法则。从而解决了初等函数的求导问题。这些公式和法则是基本，因此，必须要牢记和熟记。归纳如下：1.求导法则（1） （2）（3）（c为常数） （4） （5）（c为常数）（6）（7），其中2.基本初等函数的导数公式
