《矩形运算方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩形运算方法（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、. .一败涂地、解线性方程组线性矩阵方程解线性方程组是科学计算中最常见的问题。所说的“最常见有两方面的含义：） 问题的本身是求解线性方程组；） 许多问题的求解需要或归结为线性方程组的求解。关于线性方程组其求解方法有两类：） 直接法：高斯消去法Gaussian Elimination；） 间接法：各种迭代法Iteration。、高斯消去法） 引例考虑如下梯形线性方程组：高斯消去法的求解思路：把一般的线性方程组化成上或下梯形的形式。高斯消去法例如考虑如下线性方程组：） 第一个方程的两端乘加到第二个方程的两端，第一个方程的两端乘加到第三个方程的两端，得第二个方程的两端乘加到第三个方程的两端，得） 从
2、上述方程组的第三个方程依此求解，得高斯消去法的缺乏及其改进高斯全、列主元素消去法在上例中，由于建模、计算等原因，系数2.001而产生0.0005的误差，实际求解的方程组为注：数值稳定的算法高斯列主元素消去法就是在消元的每一步选取列主元素一列中绝对值最大的元取做主元素，高斯列主元素消去法是数值稳定的方法。列主元素消去法的根本思想：在每轮消元之前，选列主元素绝对值最大的元素,使乘数.列主元素消去法的步骤：设已经完成第1步到第步的按列选主元、交换两行、消元计算，得到矩阵.第步计算如下：对于，1 选列主元素，即确定使；2 如果，那么方程组解不唯一，或者接近奇异矩阵，停顿运算；3 如果，那么交换第行与第
3、行元素；4 消元计算：5 回代计算：完全主元素消去法即是每次选主元时，依次按行、列选取绝对值最大的元素作为主元素，然后交换两行、两列，再进展消元计算.完全主元素消去法的步骤：设已经完成第1步到第步的选主元、交换行和列、消元计算，得到矩阵.第步计算选主元素的范围为，即确定使.第步计算如下：对于，1 选主元素，即确定使；2 如果，那么方程组解不唯一，或者接近奇异矩阵，停顿运算；3 如果，那么交换第行与第行元素；如果，那么交换第列与第列元素；4 消元计算：5 回代求解.【注】完全主元消去法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，但完全主元消去法解方程组，在选主元素时要化费较多的计算机时间，行主元消去法与列
4、主元消去法运算量大体一样，实际计算时，用列主元消去法即可满足一定的精度要求.对同一数值问题，用不同的计算方法，所得结果的精度大不一样.对于一个算法来说，如果计算过程中舍入误差能得到控制，对计算结果影响较小，那么称此算法是数值稳定的；否那么，如果计算过程中舍入误差增长迅速，计算结果受舍入误差影响较大，那么称此算法为数值不稳定的.因此，我们解数值问题时，应选择和使用数值稳定的算法，否那么如果使用数值不稳定的算法，就可能导致计算失败.高斯列主元素消去法的MATLAB实现：，意为例LinearEquiation02.mopen LinearEquiation02 LinearEquiation02 一
5、个典型的例子:Hilbert矩阵:注:非奇异矩阵的条件数: 分解Factorization高斯消去法、Doolittle分解高斯消去法的消元过程，从代数运算的角度看就是用一个下三角矩阵左乘方程组的系数矩阵，且乘积的结果为上三角矩阵，即()可通过直接用A元素计算矩阵A的三角分解矩阵L和U.这种直接计算A的三角分解的方法有实用上的好处.下面利用矩阵乘法规那么来确定三角矩阵L和U.第一步：利用A的第一行、第一列元素确定U的第一行、L的第一列元素.由矩阵乘法，得到,. 3.7设已经计算出U的第1至r-1行元素，L的第1至r-1列元素，现在要计算U的第r行元素及L的第r列元素.第r步：利用A的第r行、第
6、r列剩下的元素确定U的第r行、L的第r列元素.由矩阵乘法，有，得U的第r行元素为. 3.8由，得. 3.9例5用LU分解法求解方程组.解对系数矩阵A进展LU分解，.由，有.，.因此.解方程组，得.解方程组，得.6 LU 分解的MATLAB实现：或例A=rand(5);L,U，P=lu(A)A=rand(5);L,U,P=lu(A)L=PL 当是主对角占优的三对角矩阵时，基于Doolittle分解可得到解这类方程组的追赶法。、Cholesky分解(Cholesky Factorization)对称正定矩阵的Cholesky分解和以为系数矩阵地的线性方程组的改进的平方根法：设阶方程组，是对称正定矩
7、阵(Positive Definite Matrix)，那么有三角分解.再将分解为,那么.1 对称正定矩阵有唯一的分解这是由于，且对称阵，那么有再利用三角分解的唯一性，得.因此，对称正定矩阵有唯一的分解.2 是正定对角阵即由于对称正定的充要条件是对称正定，其中是阶可逆方阵.取，就推知是正定对角阵.因此的对角元素，记，其中,那么.3 乔莱斯基Cholesky分解将记为，那么称为Cholesky分解.利用Cholesky直接分解公式，推导出的解方程组方法，称为Cholesky方法或平方根法.4 解方程组的平方根法Cholesky方法由Cholesky分解，有. 3.10利用矩阵乘法，逐步确定的第行
8、元素.由当时，有分解公式：对于 3.11将对称正定矩阵作Cholesky分解后，那么解方程组就转化为解两个三角方程组.例7用Cholesky方法解方程组.解对系数矩阵作Cholesky分解得到.解，得.解，得.cholesky分解的MATLAB的实现：L=chol(A)。3、追赶法在许多实际问题中，如，常微分方程两点边值问题、三次样条插值方法等，往往遇到线性方程组的求解，其中. 3.13称具有公式3.13形式的系数矩阵为三对角阵,称相应的线性方程组为三对角方程组Tridiagonal Linear Systems).具有这种形式的方程组在实际问题中是经常遇到的，而且往往是对角占优Diagona
9、lly Dominant的.满足条件： ，.这类方程组的解存在唯一非奇异，可以直接利用高斯消去法或直接分解法，而其解答可以用极其简单的递推公式表示出来，即下面介绍的追赶法.追赶法通常是数值稳定的.对作LU分解Doolitle分解，可以发现L、U具有非常简单的形式.由矩阵乘积，得.比较等式两端，得到 3.14因为上述分解，那么方程组的求解转化为解两个简单的三角方程组和，从而得到求解方程组的算法公式.先解，即. 3.15再解，即. 3.16这种把三对角方程组的解用递推公式3.14、3.15、3.16表示出来的方法形象化地叫做追赶法，其中3.14、3.15是关于下标由小到大的递推公式称为追的过程，而
10、16却是下标由大到小的递推公式称为赶的过程，一追一赶构成了求解的追赶法.例9用追赶法解三对角方程组.解 系数矩阵分解得到.解，得.解，得.调用函数LU_Factorization.m解例9.输入A=4 -1 0;-1 4 -1;0 -1 4;b=1;3;2;x,L,U,index=LU_Factorization(A,b)得到方程组的解及相应的LU分解矩阵：x = 0.5179 L= 1.0000 0 0 U= 4.0000 -1.0000 0 1.0714-0.2500 1.0000 0 0 3.7500 -1.0000 0.7679 0 -0.2667 1.00000 0 3.7333为了
11、对线性方程组的直接法作出误差分析，为了讨论方程组迭代法的收敛性，需要对向量和矩阵的大小进展度量，进而引入了范数用于度量“量的大小的概念、 引言实数的绝对值：是数轴上的点到原点的距离；复数的模：是平面上的点到原点的距离；还有其他刻画复数大小的方法准那么：如；向量的内积、范数及维空间距离的度量令是一数域，是上的向量空间，如果函数有如下性质：、共轭对称性：，；、非负性：，；、线性性：，；那么称是上的一个向量内积inner product，向量空间上的向量内积通常用符号表示，定义了内积的向量空间称为内积空间inner product space。记做表示。例，容易验证函数定义了上的一个内积。令是一数域
12、，是上的向量空间，如果函数有如下性质：、非负性：，；、齐次性：，；、三角不等式：，；那么称是上的一个向量范数norm，向量空间上的范数通常用符号表示。定义了范数的向量空间称为赋范空间normed space。记做表示。例，容易验证函数定义了上的一个范数，这样定义的范数称为由内积诱导的范数。例上常用的向量范数：，、范数：；、范数：；、范数：；令是一数域，是上的向量空间，如果实值函数有如下性质：、对称性：，；、非负性：，、三角不等式：，；那么称是上的一个距离函数distance function或度量metric，定义了度量的向量空间称为度量空间metric space，记做表示。例4上常用的由范数诱导的度量：，、范数诱导的度量：；、范数诱导的度量：；、范数诱导的度量：；矩阵的范数矩阵是线性映射当时为线性变换的一种表现形式。因此，除了可以把矩阵看做向量而定义其范数外，更为根本、更为重要的是表征其线性映射的算子范数operator norm，以的情况为例：其中右端的范数是赋范空间中向量的范数，由矩阵算子范数的定义容易证明对映像大小的估计不等式：，称满足不等式的矩阵范数是与对应的向量范数相容的。例常用的矩阵范数：、范数列范数：；、范数谱范数：；、范数行范数：；上述三种范数是如下定义的矩阵范数的特例：、由向量的范数：，定义：、范数Frobenius: ；-
