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1、常见递推数列通项的九种求解方法高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。解决方法类型一： an 1anf (n) （ f n 可以求和）累加法例 1、在数列an 中，已知 a1 =1，当 n 2 时，有 an an 12n 1 n 2 ，求数列的通项公式。解读：anan 12n1(n2)a2a11a3a23a4a35上述 n1个等式相加可得：anan 12n1 ana1n21 ann2评注：一般情况下，累加法里只有n-1 个等式相加。【类
2、型一专项练习题】1、已知 a11， anan1n （ n 2），求 an 。2、已知数列an， a1 =2， an 1= an +3n +2，求 an 。3、已知数列 a n 满足 an1an2n1，a1 1 ，求数列 an 的通项公式。4、已知 an 中， a13,an 1an2n ，求 an 。11n5、已知 a1,an 1an(nN*),求数列a n 通项公式 .226、已知数列an满足 a11, an3n 1an 1 n 2, 求通项公式 an ？7、若数列的递推公式为a13,an 1an2 3n 1 (nN * ) ，则求这个数列的通项公式8、 已知数列 an 满足 an 1an2
3、3n1， a13 ，求数列 a n 的通项公式。9、已知数列an1， an 1an1，求 an 。满足 a12n 2n10、数列 an中， a12 ， an 1 ancn （ c 是常数， n 1，2，3， ），且 a1，a2，a3 成公比不为 1的等比数列（ I ）求 c 的值；（ II）求 an的通项公式11、设平面内有n 条直线 (n 3) ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用f ( n) 表示这 n 条直线交点的个数，则f (4) ；当 n 4 时， f (n)（用 n 表示）n 1答案 :1. ann( n1）2.ann(3n 1)3. an n2 1 4. a
4、n 2n 1 5. an3122226. an3n17. an 12 3n 18. an 3nn 1 9. an3110.(1)2 (2) an n2n 222nn2n 211.(1)5 (2)2解决方法类型二： an 1f (n)an（ f (n) 可以求积）累积法例 1、在数列an 中，已知 a11,有 nan1n1 an ， ( n2) 求数列 an 的通项公式。解读： ananan 1an 2a3a2a1an 1 an 2 an 3a2 a1nnn1 n232 121nn143n 1又a1 也满足上式；an2(nN * )n1评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。【类型二专项练
5、习题】1、 已知 a1， ann 1 an 1 ( n 2 ) ，求 a 。1n1n2、已知数列an满足 a12， an 1nnan ，求 an 。313、已知 an 中， an 1nan ，且 a12 ，求数列 an 的通项公式 .n24、已知 a13 ， an 13n1 an ( n1) ，求 an 。3n25、已知 a11, ann(an1an ) (nN*), 求数列a n 通项公式 .6、已知数列an满足 a11, an 12n an ，求通项公式 an ？7、已知数列 an 满足 an12( n1)5n a ， a13 ，求数列 a 的通项公式。nn8、已知数列 an ，满足 a1
6、=1， ana12a23a3(n1)an 1( n 2) ，则 an 的通项9、设 an 是首项为1 的正项数列 ,且 ( n + 1)a n21 -nan2 +an+1 an = 0( n = 1, 2, 3,) ，求它的通项公式 .10、数列 a n 的前 n 项和为 Sn ，且 a11 ， Sn n 2 an (nN *) ，求数列 an 的通项公式 .2246n 2 n答案： 1. an2. an3. an4.an5. an n 6. an 2 223nn n 13n1nnn2 n117. an 3 n! 2n 15 28. ann1an2n!9. an10.n2n2nn2解决方法类型
7、三： an 1AanB(其中 A,B为常数 A0,1 ）待定常数法可将其转化为 an1tA(ant) ，其中 tB1，则数列 ant为公比等于 A 的等比数列，然后求 anA即可。例 1在数列an中， a11，当 n2 时，有 an3an 12，求数列an的通项公式。解读：设 at3 a1t，则 an3an 12tnnt1 ，于是 an1 3 an1 1an1 是以 a1 12为首项，以3 为公比的等比数列。an2 3n 11【类型三专项练习题】1、在数列an中， a11， an 12an3 ，求数列an的通项公式。2、若数列的递推公式为a11, an 12an2(n N * ) ，则求这个数列的通项公式3、已知数列 a n 中， a1 =1， a n =1 a n 1 + 1(n2) 求通项 a n 24、在数列 a ( 不是常数数列 ) 中 ,an11 an2 且 a11, 求数列 a 的通项公式 .n23n5、在数列 a 中， a11, an 13an1, 求 an .n6、已知数列an满足 a11, an12an1(nN* ).求数列an 的通项公式 .7、设二次方程 a x 2 - an1.x+1=0(n N)有两根 和 ，且满足 6 -2 +6 =3n(1) 试用 an 表示 a n 1 ；（ 2）求证：数列an2是等比数列；
