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1、二次函数综合题（共30题）1（2011遵义）已知抛物线y=ax2+bx+3（a0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a0）的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标2（2011淄博）抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C（0，2），与直线y=x交于点A（2，2），
2、B（2，2）（1）求抛物线的解析式；（2）如图，线段MN在线段AB上移动（点M与点A不重合，点N与点B不重合），且MN=，若M点的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由3（2011资阳）已知抛物线C：y=ax2+bx+c（a0）过原点，与x轴的另一个交点为B（4，0），A为抛物线C的顶点（1）如图1，若AOB=60，求抛物线C的解析式；（2）如图2，若直线OA的解析式为y=x，将抛物线C绕原点O旋转180得到抛物线C，求抛物线C、C的解析式；（3）在（2）的条件下，
3、设A为抛物线C的顶点，求抛物线C或C上使得PB=PA的点P的坐标4（2011株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2（a0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：（1）若测得（如图1），求a的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BFx轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标_；（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标5（2011漳州）如图1，
4、抛物线y=mx211mx+24m （m0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且BAC=90（1）填空：OB=_，OC=_；（2）连接OA，将OAC沿x轴翻折后得ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x=n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值6（2011湛江）如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点
5、（点A在点B的左侧）（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明ACD为直角三角形；（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由7（2011岳阳）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践应用探究的过程：（1）实践：他们对一条公路上横截面为拋物线的单向双车道的隧道（如图）进行测量，测得一隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式（2）应用：按规定机动车辆通过隧道
6、时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述拋物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：I如图，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在拋物线上，顶点A、B落在x轴 上设矩形ABCD的周长为l求l的最大值II如图，过原点作一条y=x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P 为直线0M上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q问在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角
7、形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由8（2011永州）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（2，1），B（0，7）两点（1）求该抛物线的解析式及对称轴；（2）当x为何值时，y0？（3）在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为F，E当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标9（2011营口）如图（1），直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点
8、的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（4）当0x3时，在抛物线上求一点E，使CBE的面积有最大值（图（2）、图（3）供画图探究）10（2011益阳）如图，已知抛物线经过定点A（1，0），它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点，P点关于x轴的对称点为P，过P作x轴的平行线交抛物线于B、D两点（B点在y轴右侧），直线BA交y轴于C点按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值：（1）当P点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析
9、式并求线段CA与CB的比值；（2）若P点坐标为（0，m）时（m为任意正实数），线段CA与CB的比值是否与（1）所求的比值相同？请说明理由11（2011义乌市）已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x=4设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线 y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MNx轴，交PB于点N将PMN沿直线MN对折，得到P1M
10、N在动点M的运动过程中，设P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒求S关于t的函数关系式12（2011宜昌）已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n相交于两点，这两点的坐标分别是（0，）和（mb，m2mb+n），其中 a，b，c，m，n为实数，且a，m不为0（1）求c的值；（2）设抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点是（x1，0）和（x2，0），求x1x2的值；（3）当1x1时，设抛物线y=ax2+bx+c上与x轴距离最大的点为P（x0，y0），求这时|y0丨的最小值13（2011宜宾）已知抛物线的顶点是C（0，a）（a0，a为常数），并经过点（2a，2a），点
11、D（0，2a）为一定点（1）求含有常数a的抛物线的解析式；（2）设点P是抛物线上任意一点，过P作PH丄x轴垂足是H，求证：PD=PH；（3）设过原点O的直线l与抛物线在笫一象限相交于A、B两点，若DA=2DB且SABD=4求a的值14（2011烟台）如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上直线CB的表达式为y=x+，点A、D的坐标分别为（4，0），（0，4）动点P自A点出发，在AB上匀速运行动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动设点P运动t（秒）时，OPQ的面积为s（不能构成OPQ的动点除外
12、）（1）求出点B、C的坐标；（2）求s随t变化的函数关系式；（3）当t为何值时s有最大值？并求出最大值15（2011雅安）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c（a0）图象的顶点M在反比例函数上，且与x轴交于AB两点（1）若二次函数的对称轴为，试求a，c的值；（2）在（1）的条件下求AB的长；（3）若二次函数的对称轴与x轴的交点为N，当NO+MN取最小值时，试求二次函数的解析式16（2011徐州）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，2）（1）求此函数的关系式；（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D若在抛物线上存在点E，使
13、直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及PEF的面积；若不存在，请说明理由17（2011孝感）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m，0），其中m0（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（2）连接OA，若OAF是等腰三角形，求m的值；（3）如图（2），设抛物线y=a（xm6）2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若OAM=90，求a、h、m
14、的值18（2011襄阳）如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的O与y轴正半轴交于点C，连接BC，ACCD是O的切线，AD丄CD于点D，tanCAD=，抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点（1）求证：CAD=CAB；（2）求抛物线的解析式；判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形？若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由19（2011湘西州）如图抛物线y=x22x+3与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C（1）求点A、点B和点C的坐标（2）求直线AC的解析式（3）设点
15、M是第二象限内抛物线上的一点，且SMAB=6，求点M的坐标（4）若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从 B 向A运动（不与B，A重合），同时，点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动设运动的时间为t秒，请求出APQ的面积S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，APQ的面积最大，最大面积是多少？20（2011湘潭）如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由21（2011西宁）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠
