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1、福师12秋初等数论练习题注：本课程练习题所提供的答案仅供学员在学习过程中参考之用，有问题请到课程论坛提问。一、填空1、 的个位数为 解析：本题考核的知识点为同余2、求所有正约数的和等于15的最小正数为 解析：本题考核的知识点为约数3、模13的绝对值最小的完全剩余系为 解析：本题考核的知识点为完全剩余系4、若是模11的一个完全剩余系，则 也是模11的 剩余系。解析：本题考核的知识点为完全剩余系5、 个整数形成模的简化剩余系的充要条件是： 解析：本题考核的知识点为简化剩余系6、求不定方程组: 的正整数解为 解析：本题考核的知识点为不定方程组7.不定方程的满足的一切整数解可表为 解析：本题考核的知识
2、点为不定方程的整数解8.2160的正约数的个数为 解析：本题考核的知识点为约数9. 设是一个大于1的整数， ,若 是的一个简化剩余系，则 也是模的 剩余系。解析：本题考核的知识点为简化剩余系10.模7的非负最小完全剩余系为 解析：本题考核的知识点为完全剩余系11.自279到577的整数中是17倍数的整数个数为 解析：本题考核的知识点为倍数12. 叙述欧拉定理： 解析：本题考核的知识点为欧拉定理13. 的标准分解式中中素数7的指数为 解析：本题考核的知识点为标准分解式14、不定方程的的全部整数解为 解析：本题考核的知识点为不定方程的整数解15模13的互素剩余系为 解析：本题考核的知识点为互素剩余
3、系二、解析：本题考核的知识点为整除.提示：且 由 知 或 若 由知 若 由知 如果 那么 且 三、（若(a,b)=1，则(a-b,a+b)=1或2解析：本题考核的知识点为最大公约数.提示：设 (a-b , a+b)= d ，则d | a-b, d | a+b，根据条件得出d=1 或d=2 四、试证：6|n(n+1)(2n+1)，这里n是任意整数。解析：本题考核的知识点为整除.提示： nN 2 | n(n+1)(2n+1)，再证明3 | n(n+1)(2n+1)五、求证 是模的一个完全剩余系解析：本题考核的知识点为完全剩余系提示“模7的一个完全剩余系是0，1，2，3，4，5，6,-3,-2,7,
4、9,13,17,22=7，22，9，17，3，2，130，1，2，3，4，5，6（nod7）得证六、假定是任意整数，求证或解析：本题考核的知识点为同余.提示:要证明原式成立，只须证明，或者成立即可七、设为正整数，证明：解析：本题考核的知识点为欧拉定理提示： 同理 证得八、设p是不小于5的素数，试证明解析：本题考核的知识点为同余的性质，提示： 且是不小于5的素数 又 且是不小于5的素数得出结论 九、解同余式组 解析：本题考核的知识点为同余式组的解法提示 (14，8)=2 且 2 | 2 14x2(mod8) 有且仅有二个解解7x1(mod4) x-1 (mod4) 14x2(mod8)的解为 x-1，-1+4(mod8)原同余式组同解于 或 再分别求解。十、解不定方程解析：本题考核的知识点为多元一次不定方程；提示：原不定方程有解且可化为，分别求解十一、若且为素数，则解析：本题考核的知识点为威尔逊定理提示： 然后利用威尔逊定理证明十二、若, 则 解析：本题考核的知识点为整除提示： 根据条件推出结论
