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1、线性代数习题解答 第二章 矩阵及其运算 西安理工大学应用数学系第二章 矩阵及其运算2.1矩阵的定义2.2矩阵的基本运算一、 填空题1、矩阵，当且仅当。2、设矩阵，则矩阵可作加法的条件是，可作乘法的条件是。3、设，则是矩阵，且=。4、矩阵的转置矩阵中，第行第列的元素是。5、对于矩阵，当= 1 ， 0 ， 0 时，是对称矩阵。6、若，则矩阵的次方幂=。7、的充要条件是。8、若是3阶方阵，且，则 -24 ， 9 。9、若是3阶方阵，是4阶方阵，且，则 -8 。10、设是阶方阵，是的伴随矩阵，则。二、判断题1、若两个行列式，则他们对应的矩阵有。 （）2、若矩阵的行列式，则必有。 （）3、若矩阵的乘积和
2、都有意义，则必是方阵。 （）4、均是阶方阵，则。 （）5、对任意的阶方阵，有。 （）6、若，则或。 （）7、若，则或。 （）8、对任意的方阵，有。 （）三、单项选择题1、 若是矩阵，是矩阵，是矩阵，则下列运算不可行的是（D）(A) (B) (C) (D) 2、 已知是矩阵，是矩阵，则下列运算结果是阶方阵的是（B）(A) (B) (C) (D) 3、 设是阶方阵，是矩阵，在下列运算，正确的是（D）(A) (B) (C) (D) 4、 若，则矩阵的行列式有（B）(A) (B) 或 (C) (D) 5、 设为阶方阵，则下列结论成立的是（C）() ()()()6、 设为阶方阵，且，则下列结论成立的是（
3、B）() ()或()()7、设行矩阵，且，则（B）(A) -2 (B) 2 (C )-1 (D) 18、设均为阶方阵，则必有（A）(A) (B) (C) (D) 四、计算题1、已知两个线性变换（1） （2）求从到的线性变换。解：线性变换（1）对应的矩阵是，线性变换（）对应的矩阵是，则从到的线性变换所对应的矩阵是从到的线性变换为。2、若，满足方程，求解：由，解得所以。3、按下列给定矩阵，求及。（1），（2），解：（），（2），4、设，求。解： 因为，设，则由数学归纳法知五、证明题1、 设为阶方阵，且为对称阵，证明：也是对称阵。证明：由为对称阵有，又由知也是对称阵。2、 都是阶对称矩阵，证明是对称
4、矩阵的充要条件是。证明：因为都是对称矩阵，所以有，故有。因为为对称阵，即有，又，还因为，所以，即是对称矩阵。2.3 逆矩阵一、 填空题1、已知，则 E ，= E ，所以 B ，A 。2、设为阶方阵，则是可逆的充分必要条件。 3、若、均为阶可逆方阵，数，则，。4、设，则，。5、设为3阶矩阵，且，则 -16 。6、已知，则。二 、判断题1、 设、均为阶方阵，若，则，且。 （）2、 可逆矩阵就是奇异矩阵。 （）3、 若，则。 （）4、 设，则是非奇异矩阵的充要条件是。 （）5、 若、为同阶方阵，则。 （）6、 设常数，为非奇异矩阵，则。 （）三、选择题1、设为阶方阵，且可逆，则必成立（C）(A) 若
5、则 (B) 若则(C) 若则 (D)若则2、设为同阶可逆阵，则矩阵方程的解（A）(A) (B) (C) (D) 3、设，均为阶方阵，下面结论正确的是（B）(A) 若，均可逆，则可逆 (B)若，均可逆，则可逆(C) 若，均可逆，则可逆 (D)若可逆，则，均可逆4、设为阶可逆方阵， 则（D）(A) (B) (C) (D) 四、计算题1、 试用逆矩阵的方法求下列线性方程组的解。 解：所给方程的矩阵表达式为，其中，由，方程组的解为。2、解矩阵方程，其中，。解：由移项并整理得因为，所以可逆，等式两边左乘得到，由伴随矩阵法求得故。3、设，求矩阵使其满足解：由，知存在，且，。故得到，经计算得到。4、 已知，
6、求矩阵。解：且，所以有五、证明题1、设方阵满足，证明及都可逆，并求及。解：由得到，即，所以可逆，且。同理，由得到，即，故可逆，且。或者由得到，则2、设（为正整数），证明证明 因为所以。2.4 分块矩阵一、设，用矩阵分块法计算（1），（2） （3） （4）解：设，其中，(1) (2) 同理，所以（3）(4) 二、设阶矩阵及阶矩阵都可逆，求（1） （2）解：（1） （2）三、取，验证。解：，而，所以，故有。四、设，求及解：，其中，而，所以，同理，所以， 2.5矩阵的秩 2.6 矩阵的初等变换一、 填空题1、矩阵的秩为 2 ，化为标准形为。2、若矩阵与等价，则与的秩 相等 。3、设，则=。4、设矩阵
7、，且，则=-3。二、 判断题1、设与均为矩阵，若存在阶可逆阵和阶可逆阵，使得，则 （）2、若是满秩矩阵，则 （）3、由矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 （）4、设为矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵。 （）5、矩阵是奇异矩阵。 （）6、在秩为的矩阵中，所有的阶子式都为零。 （）7、在秩为的矩阵中，一定没有等于0的阶子式。 （）三、 计算下列矩阵的秩1、解：由知。2、解：所以。四、 用初等变换法求下列矩阵的逆矩阵。1、解：由，所以。2、解：所以 五、 设，用初等变换法求使得。解：因为，知可逆，。，所以六、 设，且，求。解：由得到，由知的逆阵存在，所以。所以七、 设问为何值时，可使（1），（2），（3）解：当时，上式为，显然；当时，上式为则当时，；总之，当时，；当时，；当且时，。19
