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1、周长最小问题基本解题方法：21如图，已知抛物线y=ax4x+c经过点A(0,6)和B(3,9).(1) 求抛物线的解析式；(2) 写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；(3) 点P(m,m)与点Q均在抛物线上(其中m0),且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标；(4) 在满足(3)的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得QMA的周长最小.解:r-2ax04x0+c=6(1)依题意有2jax34x3+c=9即C=62分9a12+c=9a=14分c=6抛物线的解析式为：y=x24x65分22(2)把y=x4x6配方，得y=(x2)10对称轴方程为x=27分顶点坐标(2,10)10分(
2、3)由点P(m,m)在抛物线上2得m=m4m612分2即m5m6=0-m1=6或m?=1(舍去)13分-P(6,6)点P、Q均在抛物线上，且关于对称轴x=2对称Q(2,6)15分(4)连接AP、AQ,直线AP与对称轴x=2相交于点M由于P、Q两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点M能够使得AQMA的周长最小17分设直线AP的解析式为y=kx+b6k+b=6rk=2b=6直线AP的解析式为：y=2x618分设点M(2,n)贝U有n=2x26=219分此时点M(2,2)能够使得厶QMA的周长最小2羽丄_a+c=03-c=?3r丽a=解得3c=.32如图，在平面直角坐标系中，直线y=.3x
3、-.3与x轴交于点A，与y轴交于点C,抛物线y=2 2.3axx+c(0)经过点A、C,与x轴交于另一点B.3(1) 求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2) 若P是抛物线上一点，且ABP为直角三角形，求点P的坐标；(3) 在直线AC上是否存在点Q,使得QBD的周长最小，若存在，求出Q点的坐标；若不存在,请说明理由.(1) ：直线y=,3x,3与x轴交于点A，与y轴交于CA(1,0),C(0,CD=DE+CE=DE+CE可知CDE的周长最小在矩形0ACB中，0A=3,0B=4,D为边0B的中点BC=3,D0=D0=2,DB=60E/BC,RtD0EsRtDBC,OE=DOBCDBD020E=D0
4、BC=2X3=1DB6点E的坐标为(1,0)-图1（H）如图2，作点D关于x轴的对称点D,在CB边上截取CG=2,连接E,在EA上截取EF=2,则四边形GEFC为平行四边形，得GE=CF又DC、EF的长为定值，此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小0E/BC,RtD0EsRtDBG,0E=D0BGDB 0E=D0BG=-D0(BC-CG)=-x1=-DBDB6317 OF=OE+EF=+2=-33点E的坐标为（1,0）,点F的坐标为（7,0）3310分23如图，抛物线y=ax+bx+4与x轴的两个交点分别为A(-4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为D.E(1,2)为线段BC的中
5、点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G.(1) 求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2) 在直线EF上求一点H，使CDH的周长最小，并求出最小周长；(3) 若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，EFK的面积最大？并求出最大面积.抛物线的函数解析式为解:a=-寸，b=-11 29y=-xX+4，顶点D的坐标为（-1，-）2 24分(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M.因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交EF于一点，则这一点为所求点H，使DH+CH最小，即最小为:2DH+CH=DH+HB=BD-Bm2+Dm2=2、131213则KN=yKy
6、N=-tt+4(丄t+)=22-SEFK=SKFN+SKNE11=-KN(t+3)+KN(1t)22=2KN232=t3t+5=(t+)+22941 23-t-t+2 210分当t=时，EFK的面积最大，2最大面积为29，此时K（?,色）4 2814分4如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABC0,其顶点为A(0,1)、B(-33,1)、C(-3岛,4価0)、0(0,0).将此矩形沿着过E(V3,1)、F(3,0)的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B、C.(1)(2)(3)求折痕所在直线EF的解析式；一抛物线经过B、E、B三点，求此二次函数解析式；能否在直线EF上求一点P,使得APBC
7、周长最小？如能,求出点P的坐标；若不能，说明理由.4./1/2BE/1ACF/.-5-4-3F2-1o/-1-2Px解：(1)由于折痕所在直线EF过E(-J3，(-孚,0)tan/EFO=.3，直线EF的倾斜角为60=tan60x(.3)直线EF的解析式为：y-化简得：y=、3x+4(2)设矩形沿直线EF向右下方翻折后，B、C的对应点为B(X1,y)C(x2,y2)过B、作BA丄AE交AE所在直线于A.点TBE=BE=2、3,/BEF=/BEF=60BEA=60,AE=V3,BA=3A与A.重合，B在y轴上，X1=0,y1=2，即B(0,2)【此时需说明B.(x1,y1)在y轴上】2设二次函数
8、的解析式为：y=ax+bx+c抛物线经过B(3(3,1)、E(3,1)、B(0,2)27a3.3b+c=13a3b+c=1r1a=-一3解得b=33124L该二次函数解析式为：y=丄x、3x29分33(3) 能，可以在直线EF上找到P点，连接BC交EF于P点，再连接BP由于BP=BP,此时点P与C、B在一条直线上，故BP+PC=BP+PC的和最小由于为BC定长所以满足PBC周长最小.10分设直线BC的解析式为：y=kx+b解得丿0=3j3k+b-2巧k=9b=2直线2：3BC的解析式为：y=9x2又点P为直线BC与直线EF的交点23ox29y=J3x+4解得x=-叭31110y=1112分Cx14分点P的坐标为1111
