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1、1.设一金属薄片占有平面上的区域,薄片上连续分布着面密度为的电荷,试用二重积分表示上电荷的总量.2.利用二重积分的几何意义求下列积分的值:(1),(2),.3.利用二重积分的性质估计下列积分的值:(1),(2),.4.比较下列各组二重积分值的大小:(1)与,(2)与,.5.填空:设在平面区域上连续,且具有奇偶性,则有(1) 区域关于轴对称,为在上半平面部分,则二重积分(2) 区域关于轴对称,为在右半平面部分,则二重积分(3) 区域关于轴或轴均对称, 为在第象限部分,则二重积分(4) 区域关于直线对称,则二重积分.6.根据第5题“填空”的结果,说明下列结论成立的理由:设 ,(1) ,(2) ,(
2、3) .7.作出积分区域的图形,确定积分次序,计算下列二重积分:(1) , ,(2) , ,(3) , ,(4) , ,(5) , ,(6) , ,(7) ,其中是由直线,和双曲线所围成,(8) ,其中是由直线和抛物线所围成,(9) , ,(10) , .8.作出积分区域的图形,更换积分次序,计算出结果:(1) , (2) ,(3) , (4) .9.一半径为的半圆形薄片,其上每点的面密度与该点到圆心的距离平方成正比(比例系数为),求此半圆形薄片的质量.10.利用极坐标将二重积分化成二次积分,其中分别为:(1), (2),(3), (4),(5), (6).11.将下列二重积分化为极坐标下的二
3、次积分,并计算其值:(1) ,(2) ,(3) ,(4) ,.12.利用二重积分计算下列曲面所围成的立体的体积:(1), (2), ,(2) , (4), (含轴的部分).13.求由与所围的均质薄片的质心.14.适当地选择积分次序,将三重积分化成直角坐标下的三次积分,其中为 (1) 由,所围成, (2) 由,所围成, (3) 由,所围成.15.利用直角坐标计算下列三重积分:(1) ,其中是以点(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1)为顶点的四面体,(2) ,其中是由,及抛物面柱面所围成区域,(3) ,其中是由及,所围成.16.利用柱面坐标计算下列三重积分:(1) ,其中是由抛物面与所围区
4、域,(2) ,其中是由圆柱面及平面,及所围区域,(3) ,其中是由抛物面及平面所围区域.17.利用球面坐标计算下列三重积分:(1) ,其中为球体:,(2) ,其中为立体:,(3) ,其中为上半球面和上半锥面所围区域,(4) ,其中为立体:, ,.18.一均质物体由曲面,所围成,试求:(1) 物体的质量,(2) 物体的质心.19.求底半径为,高为的正圆柱体,其体密度为常量,求其关于底面直径的惯性矩(转动惯量).20.设由锥面与球面所围(含轴部分)的均质物体,求其对在锥顶点处的一单位质量的质点的引力.21.计算下列第一类(对弧长)曲线积分:(1) ,其中为以(0,0),(1,0),(0,1)为顶点
5、的三角形围线,(2) ,其中为,(3) ,其中为 ,(4) ,其中为星形线的一周,(5) 其中为连接,的折线,(6) ,其中为 圆柱螺线,对应于从0到的一弧, 圆22.设半径为,中心角为的均质(线密度为常量)圆弧,求其(1) 质心,(2) 关于对称轴的惯性矩(转动惯量).23.半径为的半圆形均质(线密度常数)质线,求其对位于圆心处的单位质点的引力.24.设圆柱螺线弧,其方程为, ,它的线密度,求它关于轴的惯性矩(转动惯量).25.计算下列曲面在指定部分的面积:(1) 球面介于平面和之间的部分,(2) 上半锥面包含在圆柱面内的部分,(3) 球面包含在圆柱面内的部分.26.计算下列第一类(对面积)
6、曲面积分:(1) ,其中是球面在平面的部分,(2) ,其中是平面,所围四面体的全表面,(3) ,其在是球面的部分,(4) ,其中是上半锥面被平面所截下的部分.27.设抛物面,其上质量分布的面密度为,求其质量.28.设均质上半球面,求:(1)质心,(2)关于轴的转动惯量.自测题一、单项选择题1.设是平面上以坐标(-1,-1),(-1,1)和(1,1)为顶点的三角形区域,是在第一象限的部分,则( )A. B. C. 0 D. 2.设,则( )成立.A. B. C. D. 3.设,则化为极坐标下的二次积分是( ).A. B. C. D. 4.设,则二重积分( )A. B. C. 2 D. 二、填空题1.更换二重积分的次序:.2.设区域,则( ).3.将三重积分化为球面坐标下的三次积分是 .4.将直角坐标下积分化为柱面坐标下的三次积分是( ).三、求由与平面为边界所围立体的体积.四、计算积分.五、计算三重积分,其中 .六、设平面曲线为下半圆周,计算曲线积分.七、计算第一类曲面积分,其中为锥面在柱体内的部分.八、设在上连续,试证.
