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1、三角恒等变换知识点总结2014/10/24一、基本内容串讲1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：sin(.二 I ) = sin ： cos I-二cos： sin - ;cos(.二 I ) = cos： cos ： +sin ： sin -;, Rx tana tan P tan(用二卜)：1 + ta nta n P对其变形：tan a + tan B =tan( a +B )(1- tan a tan B )，有时应用该公式比较方便。2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：2 2 2 2sin 2： =sin : cos： . cos2： -cos si n 2cos 1 = 1
2、2si n :c 2 tanatan22-.1 -tan 要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系(升角一降次，降角一升次)特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， cos2- -一,sin2- -cos2这两个形式常用。2 23. 辅助角公式： sin x cosx = in i x ; , 3sin x _cosx =2sin i x _ I 4丿I 6丿a sin x bcosx a2 b2 s in x7 i.4. 简单的三角恒等变换(1) 变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。(2) 变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。(3) 变换依据：两角和与
3、差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。(4) 变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。5. 常用知识点：(1) 基本恒等式：sin2cos2、=1,竺tan(注意变形使用，尤其1的灵活应COS。用，求函数值时注意角的范围)；(2) 三角形中的角： A B C =二，sinA = sin(B C),cosA 二-cos(B C)；(3) 向量的数量积： Jb =；a b；cos(a,b)，ah = xx y2， a _ b 二 X1X2= 0 a/b= x2 _乂2力=0;二、考点阐述考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sin20、cos40，cos20sin
4、 40,的值等于(42、若 tan=3 , tan ，则 tan等于（）33 TT3、若 a + P =丄,则（1 ta na）（1 - ta n B）的值是.44、 （1+tanl ）（1+tan2（1+tan3 川（1+tan44o）（1+tan45。） =考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式5、 cos： cos 的值等于（）（提示：构造分子分母）5 56 cos20：cos40cos60：cos80J 二（）3兀37、已知一-:A ： 2 二，且 cos A =-，那么 si n2A 等于（）2 5考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换QJTdJT8、 已知 tan（二 1 -）= -
5、 ,tan（）=-，则 tan（）的值等于（）5444119、 已知 sin sin ,cos_： 1 cos,则cosC -）值等于（）2310、函数 f （x）二 cos （x ） sin （x ）1 是（）12 12（A）周期为2二的奇函数（B）周期为2二的偶函数（C）周期为二的奇函数（D）周期为二的偶函数4、常见题型及解题技巧（另外总结）（一）关于辅助角公式：a sinx bcosx =a2 b2 sin x 亠其中cos = i a,si n甲=j b （可以通过 J a2 +b2来判断最大最小值 ）如：1.若方程sinx-/-cosx = c有实数解，则c的取值范围是.2. y =
6、2cosx -3sin x +2的最大值与最小值之和为 .卄兀27右 tan（一+g）=,则 tan。=.4 5（二）三角函数式的化简与求值例 1 1.cos150 -sin150 ；2.sin500（1 + T3tan100）；cos15 +si n153. 求 tan70 ta n50-J3ta n70，ta n50” 值;4. AABC 不是直角三角形，求证：tanA tanB tanC anA*tanB *tanC（三）三角函数给值求值问题1.已知cos(a 6 + sin a= 4 3,则sin（ a+ 的值是5 42. 已知cos（很亠卩） ,cos , ：,：均为锐角，求sin
7、的值。1353 感ij 3 .3 恵.“彳 50,cos,sin -3. 4445413，求 sin 心亠；！的值.（四）三角函数给值求角问题1.若 sinA=5 ,sinB=5,1010,且A,B均为钝角，求A+B的值.i22. 已知：，：=（/ ），且 tan :, tan :是方程 x3. 3x 0 的两个根，求：.2 21 1 _ 13. 已知:-,:,均为锐角，且tan, tan , tan ，则-+ 的值（）258annn5 nA.B.c.D.6434114. 已知tan, tan,并且：，：均为锐角，求壽- 2 的值.7 3（五）综合问题（求周期，最值，对称轴，增减区间等）1.
8、（2010 北京）已知函数 f （x） = 2cos 2x sin2 x.（1）求f （）的值；（2）求f （x）的最大值和最小值.32. 已知函数 f （x）二 2sin（恵一x）cos x .（1）求f （x）的最小正周期；（2）求f （x）在区间/ 上的最大值和最小值；（3）求函数在（-二二）6 2的单调区间。三、解题方法分析1. 熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。1 32tan13sin 50、例 1
9、设 a = -cos6si n6,b2, c,则有（）2 21+ta n213，2cos 25【点评】：本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。例如：sin 二 cos 二=sin 2二，cos 二=sin2 ， cos2 ： - sin2 ：二 cos2二， 2tan； = tan2：，22si n。1-ta n2。2 2 2仁2sin ： cos： = (sin;：；：cos： ),1 cos2： =2cos ：,1-cos2： = 2sin :21 +cos2acos :-二2.2sin1 -cos2：tan a + tan B =tan( a + B )(1- tana t
10、a n B )等。另外，三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为 K.a2 b2 sin(x )即 asinx+bcosx= . a2 b2 sin(x )(其中 tan =)是常用转化手段。 a特别是与特殊角有关的sin cosx， sinx 、3cosx，要熟练掌握其变形结论。2. 明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口(1) 运用转化与化归思想，实现三角恒等变换【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想, 应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。例 2. 已知 n
11、v B v a v 耳，cos ( a B )二12， sin (a + B )=-，求 si n2 a 的24135值.(5665(本题属于“理解”层次，解答的关键在于分析角的特点，2 a = ( a B ) + ( a + B)例2解答：例 3.化简：2sin50 +sin10 ( 1 +、,3tan10 ). sin280 .【解析】：原式=【点评】：本题属于“理解”层次 ，解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简化简时要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数 尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的尽量求出值
12、来。(2) 运用函数方程思想，实现三角恒等变换【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变 换中，可以把某个三角函数式看作未知数，禾U用条件或公式列出关于未知数的方程求解。2 3例 4：已知 sin ( a + B) = , sin (aB)=3 4【解析】tantan(a + P) -tana -tan P _tan(a + P) -tan(a + P)(1 _tana tan P) = tanatan2 ： tan(二 -)tan2 ： tan(二；)tan -【点评】：本题属于“理解”层次，考查学生对所学过的内容能进行理性分析，善于利用题中的条
13、件 运用方程思想达到求值的目的。(3) 运用换元思想，实现三角恒等变换【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个 式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。例5:若sin1 sin-,求cos-：1 cos :的取值范围。1【解析】：令 cos： cos t，则(sin sin ：)2 (cost cos ：)2 二t2,【点评】：本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子cos cos 1看作一个整体，通过代数、三角变换等手段求出取值范围。3关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点【方法点拨】三角函数在学
14、科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的联系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。斗 厂斗轉耳例 6:已知：向量 a =C：3, -1) ，b=(sin 2x, cos2x)，函数 f(x)二 ab精品文档(1) 若 f(x)=0且 0 ： x ：二，求 x的值；x 或12 12II(2) 求函数f(x)取得最大值时，向量a与b的夹角.【解析】： f(x) = a b = 3sin2x-cos2x(2) = 2si n(2x )6444+ 4 f(x)max=2，当 f(x)=2时，由 a b =|a| |b|co： a,b = 2一一泪I得 cosyb 口|a|【点评】：本题属于“理解”中综合应用层次，主要考杳应用平面向量、三角函数知识 的分析和计算能力四、课堂练习1. sin165o =(2.sin14ocos16o+sin76ocos74o 的值是()A .3B1CD22
