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1、行星运行轨道的推导王晓琳，陈海军（陇东学院 物理与电子工程学院，甘肃 庆阳 745000）摘 要：从力的观点对行星运行轨道推导计算，通过求有心力，然后求出在有心力作用下的质 点运动规律，进而对行星运行轨道形状展开讨论；再从能量的观点出发，得到行星运行轨道的一般 Binet 方程，还可以从质点的运动微方程导出比耐方程，从而了解行星运行轨道的一般规律，即天体 运行轨道的方程。关键词：有心力，比耐公式，轨道方程0 引言天体行星的运行轨道都是椭圆，这一点早已被科学观察所证实。但为什么行星的运动轨迹都会 是椭圆的呢？1609 年，德国著名的天文学家、数学家开普勒在研究古希腊天文学家托勒密的“地心说” 和
2、波兰天文学家哥白尼的“日心说”的基础上，提出了“开普勒定律”，描述了行星绕太阳运动的规律， 其中开普勒第一定律，即轨道定律，认为每一行星沿一个椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的 一个焦点中。几个世纪来，牛顿给出了计算椭圆轨道的公式，康德在其宇宙发展史概论中做出 了一个不很明确的解答 “行星的偏心率是自然界因力图使行星作圆周运动时，由于中间出现了许多 情况，而不能完全达到圆形的结果 ”。而拉普拉斯在其宇宙体系论中是这样解释的“如果行星只 受太阳的作用，它们围绕太阳运行的轨道是椭圆的 。”20 世纪的爱因斯坦也只告诉我们“空间是 弯曲的 ”， 现代天文学研究表明，当今人类所能观察到的离地球最远的
3、距离是200 亿光年，但这并 不是宇宙的边缘，而宇宙的一切天体，一切一切星系的运行，都有着特定的森严的规律，如月球绕 地球旋转，地球绕太阳旋转，太阳系绕银河系旋转，银河系绕室女星系旋转等等，万物各成其形， 各行其道，这是当代一切科学家共同确认的。本文首先从力的角度进行讨论1 用力的观点来推导轨道1.1 有心力各大行星的运行轨道都是绕太阳做椭圆运动的，因为万有引力的作用，一般而言，若运动质点 所受的力作用线始终通过某一个定点，则该质点所受的力是有心力。在平面极坐标系中，质点的运动微分方程为：m(r -r02)=F = F(r)rm(r0 + 2r0) = F = 01d对（1）的第二式进行第一积
4、分，得m（r20 ） = 0rdt由于质点的质量m是常数，故积分得r20= h(2)将（1）的第一式和（2）作为有心力的基本方程。我们知道有心力是保守力，则它一定存在势 能V,且F = -W 由于势能差与原点选取无关，故有r2f F(r)d =-(V V) (3)r21r1其中V也是r的函数，由机械能守恒定律得1 . m（r + r20 2） + V（r） = E （4）2其中E是质点的总能，为常数。1.2 比耐公式为了求出在有心力作用下的质点运动规律，由（2）和（4）出发，求出r，e和t的关系，即r = r（t）， 0 =0 （t），但很多情况下并不能得出这样的显函数形式，而只能把他们表示为
5、t的隐函数，在力学中想求轨道方程，通常是先求运动规律，然后从运动规律中把参数t消去，因为运动规律就是轨道 的参数方程，而在有心力问题中，常采用另一种方法，为了计算方便，常用r的倒数u来代替r，即 求出u和e的微分方程1由（1）以u = 代替r可得到0 = hu2 r.dr dr d0 d 1 d01 dudu又 r = = () = 0 = h 人 dt d0 dt d0 u dt u 2 d0d0drddu=(h)=dtdtddd0(一第)6= h 2u 2d 2u5)把r及0的表达式代入（1）中t就消去了，并得到d2u h2 u 2(d0 2即轨道微分方程，又称比耐公式，引力时F为负号，斥
6、力时F为正号。1.3 轨道形状的讨论：力与质点到力心间的距离r成平方反比，在行星绕太阳的运动就是在力与距离成平方反比的引力作用下发生的，即为万有引力。另一方面，在物理学中也存在平方反比的斥力问题，例如用粒 子（带正电）轰击原子核（也带正电）将发生散射现象，这是粒子所受的力虽然也是有心力，但 与万有引力不同，是一种与距离平方成反比的排斥力。现由比耐公式来求质点在与距离平方成反比的引力作用下的轨道方程。如果令太阳的质量为m ,行星的质量为m,则由万有引力定律，知行星和太阳之间的作用力可s以写为Gm mF = - s =r2k2m=mk 2u 2r26）式中G为万有引力常数，k2二Gm是一个与行星无
7、关而只和太阳有关的量，称为太阳的高斯 s常量， r 为行星和太阳之间的距离。d2u 把（6）代入（5）中得：h2u2（d0 2+ u ) = k 2U 27）d 2uk2即 + U =-d0 2h 28）d2&则（8）式变为 de2 + E = 0（9）这个微分方程的形式与谐振动方程完全一样，所以它的解是E = Acos(e e )而 u = e += a cos(e e)+ h2十1或 r =ui+Acos(e e)h2彳0/ k 210)式中A 及e0是两个积分常数，如果把极轴转动一个角度，可使e0 = 0，则式（1）就简化为h2 / k 2r =h21 + A cos ek 211)这就
8、是所要求的轨道方程。将它与标准的圆锥曲线方程r二ed1 + e cos 0P1 + ecos0比较，可知在平方反比引力作用下的质h2点的运动轨道是一条以力心为焦点的圆锥曲线。其离心率率=Ak2，半正焦弦：p二h2/k2。因此, 也就知道在万有引力作用之下的质点的运动轨道是圆锥曲线。由解析几何知在万有引力之下，轨道是圆锥曲线。圆锥曲线按e的量值可分为三种类型，因此在力与距离平 方成反比的引力场中质点的轨道类型有三种。A 1双曲线k 2在圆锥曲线中，离力心最近的点叫做近日点.在椭圆中，离力心最远的点叫远日点，抛物线和双 曲线没有远日点。对于椭圆来说它的近日点距离r二a -c （a为椭圆长半轴，c椭
9、圆中心到焦点F的距离）。所以近日点的距离r = a 一 c = a（1 -） = a（a 一 e），远日点的距离 ar = 2a - r = 2a - a + c = a （1 + e）。此外，我们利用圆锥曲线方程r二 - 还可以 1 + e cos0将焦点参数P用a和e来表示。因为在近日点“ 0，所以r =总=a（1-e），所以P - a（1-e2）。光从几何的角度来看，圆锥曲线的类型和形状取决于几何参数（e,P）,但我们还应该要明确它 的物理意义。从解比耐方程得到的结果可以看到几何参数（e, p）与A，h有关。总之（3） A、h和初使条件有关.A、h这两个物理量与有心运动质点的初始状态（条
10、件）有关。显然，在平方反比引力作用之下质点的运动轨道的形状是由A、h这些力学参量决定的。 下面我们就从能量的观点来讨论在平方反比引力作用之下的质点运动轨道。2用能量的观点来讨论轨道：2.1天体运行轨道的一般性Binet方程形式2.1.1 能量方程的一般解根据介质层壳弯曲方法，目前已给出能量方程及其一特殊条件解为r2dE +耳E E dr = 0(12)m m M 12E = me 2 = me 2 exp(耳m0M C 20 r式中为介质层壳常数，r为粒子与物质间的作用距离，em及Em即分别为基于质速关系的作用物质及质点粒子的 Einstein 能量。能量方程（12）式的一半解能量方程及势能方
11、程为M C 2E = me 2 = m e2 exp（耳一o + a） （13）m 0 r 13M C 2A = me2 一 m e2 exp（耳一o+ a）（14）mr0r14式中&为待定常量。根据势能方程（14）式，得作用力方程及其二个条件解分别为dAM mM C 2F =- 件=-qe 2o_ exp（耳一o+o） （15）Mmdrr 2r15M m M C 2M C 2F = -qe4o o(l +q o+a)耳一o+a 1Mmr 2rrMmF = q e 4 o_oMm r 2M C 2 q o r16 )方程（ 16）式与 Newton 引力方程FMmMm=Go_or2具有相同的形
12、式，故可确定Newton引力常数G = c 2q（ 17）根据（13）、（17）二式得质点粒子在引力作用下的运动速度及其一条件解形式分别为V2me 2 (1 - exp( -2GMoe2r-2&)18)2GM2 2e 2& 2GMV2m19 )=+ 2e 2& = GM ( +) + 2 1ro r GM , e2ro式中Vm为粒子的运动速度。显然上面（19）式与 Newton 引力理论的活力积分公式V2 二 GM (2 -丄)m 0 r a是一致的，式中 a 为行星轨道半径，得与之相对应的待定常量GM一占。（20）2.1.2 天体运行轨道的一般 Bint 方程形式对于（19）式有 Newto
13、n 引力方程组“/ dr、/ d、2GMV2 =()2 + (r)2 =亠 + 2c 2C，m dt dt rdr2= Ldt21)式中为行星轨道平面的极坐标角度,L = a（1 e2）GM0为行星扫面速度常数的二倍，e为行星轨道的偏心率。行星运行的参量方程为V dVm +m drGM d申门0 = 0 (22) L dt(22)相应地对于（18）式有dr / d*V 2 = ()2 + (r)2m dtdt2GM0 一 2c )，(23)c2r/ 二 c 2(1 - exp(d*2GMr 2= L exp( 一o 2c.)dtc2r由（23）式得行星运动轨道的一般Binet方程形式为d2ud申2+ u = u (2exp(4c-2u + 4c) - exp(2c -2u + 2c) (24)GM 式中u二厂0u 二(GM,)20 L 。将方程（24）式右边c-2u +c以零阶Taylor级数展开，即得Newton引力理论（21）式的Binet方程形式d2u+ u u c-2u + c 0 ( 25) d* 20 25则由(22)(23)可得角动量方程为dq =- GM -7mr 2= L exp(-0 -7)dr 0c 2r即轨道方程为V 2 =(空)2 + (r如)2m dtdt2GM=c 2(1 exP( 一0 一 27),(26)c2rd
