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1、等比数列的概念龚林娟一、教学目标 （1）通过HPM（历史数学问题），让学生在历史数学问题中感受数学哲学的思想，并在类比等差数列概念的基础上自主探索得到等比数列的概念，让学生感受概念的形成过程.（2）运用类比的数学思想方法，类比等差数列的相关性质，给出等比数列的类似性质.二、教学重点和难点等比数列概念的形成与应用.三、教学过程3.1 课题引入斐波那契是中世纪意大利著名的数学家，他在1202年写了计算之书一书，是当时风靡一时的数学教科书.兔子数列就是其中一章的一个数学问题，在书中还有另外一个有趣的问题：7个妇女去罗马，每个人牵着7匹骡子，每匹骡子负7只麻袋，每只袋子装7块面包，每块面包配有7把小刀
2、，每把刀配有7个刀鞘，问妇女、骡子、面包、小刀和刀鞘各多少？我国古算书 孙子算经 中有一个以9为首项，9为公比的等比数列问题“出门望九堤”：今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色.问各有几何？公元前1650年，一个名叫阿莫斯的埃及祭司在纸草上用僧侣文抄下了这样一个在他200年以前就已经被人提出的数学问题：有7座房屋，每座有7只猫，每只猫一天吃7只老鼠，每只老鼠一天吃7棵麦穗，每棵麦穗含麦子7个容积单位。问房屋、猫、老鼠、麦穗、麦子容积各为多少？ 【探究一】同学们，看了以上几个例子，你有什么样的启示？通过HPM（历史数学问题），让学生感受数学哲学的
3、重要思想：在古今中外数学史上常有很多共同思考.可见，我们研究的课题不仅仅是中国人才研究的问题，这是一个世界性的共同课题.【探究二】把各例中的各个量按顺序排列成数列，这些数列是等差数列吗？是如何判断的？新知的学习是在学生原有知识、经验的基础上进行的，这些知识、经验构成了学生学习的起点.所以本节课以学生已有知识作为新知的生长点，一来可以有效激活学生的原有认知，二来可以为用类比的数学思想方法研究等比数列的相关性质埋下伏笔.【探究三】这些数列不是等差数列，请找出它们的共同特征.在学生原有认知的基础上，学生容易发现这些数列的特征是相邻两项的比值是同一个常数，进而可以类比等差数列，把这样的数列称为是等比数
4、列.3.2 等比数列概念的形成 数学概念是严谨的，也是严格的.要想掌握好一个数学概念，一定要抓住概念的关键词.【探究四】请学生类比等差数列定义中的关键词，给出等比数列概念中的几个关键词.进而在在关键词的基础上给出等比数列的定义，看看你和数学家想的是否一样？【探究五】类比等差数列中公差的定义和取值范围，等比数列中这一个常数你怎么定义？它的取值范围是什么？由学生通过类比等差数列定义的关键词给出等比数列的关键词，进而得到等比数列的概念.数学概念的教学一定要注重概念的发生过程，让学生经历概念的再创造，感悟数学发现的魅力.在教学中，积极渗透方法论的教学，让学生认识到类比是一种重要思的数学想方法，是数学发
5、现的重要途径.3.3 等比数列概念的应用【例1】判断下列数列是否为等比数列？（1） （2） （3）【探究六】常数列与等差数列、等比数列的关系是什么？ 例1是等比数列概念的简单应用.在等差数列中，我们研究过常数列并熟知常数列是特殊的等差数列.那么自然学生会有这样的问题，常数列是特殊的等比数列吗？学生通过合作探究，容易得到这样的结论：非零常数列既是等差数列，又是等比数列.3.4 等比数列符号语言的形成【例2】已知数列的通项公式，求证：是等比数列.【探究七】光用语言进行数学交流是难以使得数学国际化的.为什么数学语言与一般语言相比，具有无名族性、无区域性的特点，并且它是世界上唯一的通用语言？是什么推动
6、了数学的发展？【探究八】类比等差数列的符号语言，请你给出等比数列的符号语言.【变式】已知数列中，,证明数列是否是等比数列.数学中的证明是指借助一些真实性已确定了的命题来判断某一命题真实性的推理过程，所以仅仅通过列出数列的前几项来判断是难以达到严格的.学生通过类比等差数列的符号证明方法，也自然能想到运用符号语言进行等比数列的证明.并让学生感知数学之所以成为世界唯一通用语言，之所以可以发展到今天，数学符号在其发展中起了很大的作用.通过类比等差数列的符号语言，让学生自己给出等比数列的符号语言，并强调等比数列的符号语言是证明数列是否为等比数列的常用方法.3.5 等比中项的概念和性质研究【例3】求出下列
7、等比数列中的未知项（1）， （2），【探究九】在等差数列中，我们研究过三个数成等差数列的问题，进而引出了等差中项的定义，请类比给出等比数列中的相关概念，并研究它的基本性质.【探究十】任意两个数都存在等差中项，那么任意两个数都有等比中项么？【例4】设是和的等比中项，则的最大值是多少？ 在等差数列中，我们也研究过等差中项的问题，让学生在类比中学数学，得出等比中项的定义，并进而提出更深层次的思考：是不是任意两个数都有等比中项？如果不是，这两个数必须满足什么条件？经过探索，学生容易得到下列结论：两个符号相同的数才存在等比中项.例4则是对探究十的简单应用，利用两数同号，求出的取值范围，进而求得的最大值.
8、3.6 等比数列的子数列研究【探究十】若数列是首项为，公比是的等比数列（1）若它是有穷等比数列，则它的倒序数列是否为等比数列？如果是，公比是多少？（2）若数列每一项都同时乘以一个不为0的常数c，则新数列仍是等比数列么？（3） 若将数列中的所有奇数项（偶数项）取出构造一个新数列，则新数列仍是等比数列么？（4）若是首项为，公比是的等比数列，则、是等比数列么？（5）数列是等比数列么？数列是等比数列么？对数列的子数列的研究也是近几年高考的热点，其对学生的思维能力提出了很高的要求.所以在教学中，适当渗透一些子数列的问题，一方面可以加深学生对等比数列的认识，另一方面可以巩固用符号语言证明等比数列的方法.四
9、、教学反思“概念教学必须体现概念的形成过程”已成为新课程背景下数学概念课教学的共识.华东师范大学课程与教学研究所所长崔允漷教授也曾指出：教学的本质在于教师引起、维持和促进学生的学习活动.所以这节课我把学习还给学生，让学生自主探究等比数列的概念，让学生经历用类比的数学思想方法研究数学问题的一般过程，让学生亲历概念的发源、形成与应用过程，而我则把精力放在鼓励学生观察分析、自主探索、合作交流上.在崔允漷教授编制的有效教学框架中，促使学生学会学习、提供多样的学习机会是有效教学的重要要素. 当今国内数学教育教学讨论的最多的一个词就是有效，的确，作为一名数学教育工作者，我们不可避免的需要思考三个问题：什么样的数学教学才是有效的？如何打造有效的数学课堂？怎样能把数学教的更好、教的更有意思、教的更有效？我想，对于数学的有效教学的探索，我们要走的路还有很长.
