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1、顺学而导构建模型 乘法分配律教学实践与思考【文章摘要】数学知识具有两重性，既有过程的操作，又表现为一种结构。 因此，数学学习往往由过程开始，然后转化为对对象的认知过程。“乘法分配律” 是一线教师公认的教学难点之一，笔者在课堂教学实践基础上，以调查数据为载 体，直面学生对分配律掌握欠缺这一现象加以分析研究，根据学情、生情,对教 材进行整合加工,顺学而导,让学生构建起对分配率这一知识的整体认知。【关键词】乘法分配律；教材；构建模型乘法分配律在小学计算中是一个难以回避的内容，是学生最不愿意碰到的。 但乘法分配律又是小学阶段的一个重要知识点。通过分析发现，由于学生未能充 分理解乘法分配率的算理，缺乏完
2、整的建模过程，导致问题出现。以下是笔者对 人教版四年级下册乘法分配律一课的研究，重在以算理构建运算定律的模型， 加强学生对乘法分配律的理解和运用。一、问题的现状及思考在学完“运算定律与简便计算”这一单元之后，笔者对四年级 46 名学生用 乘法分配律计算进行了统计，结果如下表：学生运用乘法分配律简便计算合理性调查表非合理方法典型问题数人占%4 16X(104 4)=16X10022(16 + 4)X1001.216X100+1616X104X4116X100 + 4634 列竖式计算2.325X(4X8)25X4X8(25X4)X(25X8)6 125X4+25X86.5125X8X11或125
3、X80X8175.2125X88125X80 +125X(8X11) =1125X89125X8+125X 119.6列竖式计算21X9 +不会，无从下手。48.7计算面19X9积：1= (21 +19)X9面积周长混淆（9+19）X21510.9 360 (平方米）21X9+19X9 360 (平方24米）15.71.问题分析（1）意义理解有误 乘法分配律的关键是对乘法意义的理解，上面错误的本 质原因就是缺乏“几个几相加”的意识，由纯机械记忆分配律的公式导致。例如 25X（4X8）=25X4+25X8,左边是32个25相加，右边却是4个25加8个 25共12个25。（2）与结合律混淆 由于结
4、合律与分配律在形式上的形似，一部分学生容易 形成知觉上的错误，混淆了两者的区别，这也说明了学生对两者的理解不透彻。 同时，把16X104做成（16 + 4）X100的学生虽然不多，但练习的过程体现了学 生的思维具有一定的典型性，此类学生将加法运算中的和不变规律迁移到此题中 一个因数增加 4，另一个因数减少 4，它们的积不变，这属于学习中的一种“负 迁移”。（3）简算意识淡薄 上表第1、3 题通过列竖式计算的学生共达到 8.6。第4 题则在实际应用中学生更多关注的是“怎样求面积”，缺少对面积算式中数据 的观察，从而忽视对乘法分配律的还原凑整，缺乏一定的简算意识。2. 现状思考（1）思考一：分配律
5、应从哪里开始介入？ 哪种编排更合理？是将几种运算 定律放在一起教学有利于学生掌握分配律，还是把乘法结合律和分配律分开教学？ 带着疑问，笔者曾对自己所教四年级两个平行班进行了对比尝试，在初学阶段， 将乘法结合律与分配律分开教学，利于学生掌握，答题正确率相对较高，但在学 完所有运算定律之后的后续综合运用运算定律进行合理计算时，分开教学与同一 单元整合在一起教学，两者效果差别不大。（2）思考二：分配律有何价值体现？分配律用字母公式概括成：aX （bc）=aXbaXc，所含的算理是使积的和（或差）与和（或差）的积之间 具有相等关系。“相等”意味着分配律可以顺着用也可以逆着用。我们是不是可 以将其价值作
6、以下理解： 在于学会把一个集合看作整体的单位“1”例如78X99+78X 1 = 78X（991）可以看作 99 个“78”加 1 个“78”。这里“78”成了一个单位，也就 是 99 个“1”加 1 个“1”等于 100 个“1”，这种概括出整体的能力既是学习数 学所需极为重要的逻辑思维能力，同时又对后续数学学习（如学分数、学字母表 示数等）做铺垫。 在于恒等变形、化归思想的体现 例如78X99+78X 1 = 78X（99 + 1）, 等号左边是一个三步式，等号右边是两步计算式题，分配律把三步的计算简化为 两步的计算，并在局部把高级的乘法还原为低级的加法，这是数学中典型的“化 归思想方法”
7、，即“化难为易、化繁为简、化高级为低级”，这种思想的掌握对 学生终身收益。 在于贯穿小学乘法计算的全过程 系统论认为，组成系统的各个部分之间 存在着一定的关系，这些关系有的对整个系统影响很大，有的则是次要的。纵观 乘法计算的整个过程，不管是两位数乘法，还是三位数乘法，甚至小数乘法，其计算方法的得出都是乘法分配律的综合运用，其本质取决于“几个几”与“几个 几”相加的组合。(3)思考三：学生的学习困难到底在何处？从四年级学生的年龄特征看， 建立分配律的概念并不是一件容易的事。学生不了解分配律两边的算式为什么会 相等，也不知道分配律可以用在什么地方？其中内在因素来自分配律本身的复杂 性，包括“合”和
8、“分”的双向关系，以及左右分配的差异性。外在因素则包含 两方面：一方面受到教材与教学的影响，从人教版数学教材分析发现，分配律的 引入是解决问题中受两种方法“结果相等”来画上等号，这样的方式并不足以建 立两式相等的关联性，学生也不能借此了解分配律的意义；另一方面，虽然教材 中涵盖了许多分配律的相关内容，但老师未必仔细研读和思考过，问题出在哪里, 应该怎么教？有些含有分配律“影子”的内容，我们老师一笔带过，学生不了解 分配律的用法又从何用起。表面看一看，孩子们错在算法；仔细扒一扒，实质缺于算理；深入挖一挖， 本源失之教学，轻视了乘法分配律意义的理解，构建乘法分配律模型过程比较模 糊，造成部分学生对
9、于乘法分配律的理解滞留在表面，注重结构记忆，缺乏系统 化的认识。二、以算理构建乘法分配律模型的策略在进行乘法分配律的教学时，我们的教学一般是先呈现情境，再提炼出定律, 然后进行算式为主的训练，但是按这样的程序下来学生掌握的情况并不好，再进 行训练，学生的正确率也不高，从中看出我们的教学很多时候不是仅靠做题能解 决问题的。对于乘法分配律的学习，特别是那些本身学习就有困难的学生，面对 那些跟原有认知有差异的算式，他们无从下手，算式与情境之间有着无法跨越的 鸿沟。S 崛片（ ET 址幡 GE 1追根溯源，复旧知新，感知模型人教版四下分配律的教学是以种树主题图引入的：“一共有25个小组，每组4人负责挖
10、坑、种树,2 人负责抬水、浇树，一共有多少名同学参加植树活动”，然后在两种方法的解 决基础上抽取出等式“（4 + 2）X25 = 4X25 + 2X25”。而事实上，问题首先就 出于此处，即“还原”不够。从儿童的生活世界来看，乘法分配律之所以比乘法 交换律和结合律“发病率”高，不仅仅是受前两种定律的负迁移，主要还在于分 配律的生活原型相对较少，在学生对分配律的结构把握上需要投入的学习注意力 要高于交换律和结合律。基于此，在教学时是我尝试从“笔算乘法”进入。【教学片段一】课始，出示24X 13,12X95请学生列竖式计算。1 2X 9 5O1 0 %)1-102 4k 1 32 43 1?结合竖
11、式计算，回顾笔算过程。问：72是怎么来的？ 240呢？结合学生回答板书：24X3, 24X10。师：你能用一个综合算式来表示这一笔算过程吗？生：24乘3的积加24乘10的积。师：我们也可以说成24乘10的积加24乘3的积。 （24 X 10 + 24 X 3）问：这个综合算式的结果与24X13有什么关系。生：相等的。师：理由？生：10个24加3个24就是13个24。师板书：24X（10 + 3）=24X10 + 24X3同理，学生得出：12X（90 + 5）=12X90+12X5数学在本质上是一种思维方式，区别于其他学科，它的发展常常采取自我拓展、自我严密的途径。因此，在某些适当的场合用数学本
12、身发展的需要（即纯数 学问题)引入新数学知识，能让学生感受和体验数学的这一特征，熏陶更深刻的 数学精神。课堂教学要符合学生的心理规律，将学生已有经验和学习材料进行比 较研究，找到两者之间的关联点，为教学的整体设计把好脉。把抽象的运算定律 还原为学生可感受的直观，才能促使孩子们后续进一步的构建。2加强对比，明晰定律，初建模型知识在本质上是一种经验或思考的结果，而思维能力表现在经验和思考的过 程中,具体表现于对问题的处理和对实质的思考,以及对技巧的整体把握等诸多方 面，它并不完全依赖知识的多少,而依赖知识的运用和经验。【教学片段二】请学生观察两组等式；24X(10 + 3)=24X10 + 24X
13、312X(90 + 5)=12X90+12X5问：这两组等式有什么共同的变化？是不是像这样变化的两个算式都相等？此时教师不急于让学生表态，停留小会儿后出示：(3 + 4)X6O3X6 +4X6,9X(2 + 10) 09X2 + 9X10,(8 + 7)X408X4 + 7学生从算的结果及意义两方面汇报结果，并说明理由。分析(8 + 7)X408X4+7，问：为什么不相等？生 1：左边等于 60，右边等于 39，所以不相等。生2 ：左边有15个4，右边只有8个4和1个7 ，所以左边结果大于右边结 果。师：怎样调整，可以使两边相等？生2：左边有15个4，右边是8个4，再加7个4即可。问：这五组等
14、式的变化情况相同，我们可以用等号连接。那么这是不是一种 偶然现象呢？你们能否再举些例子对自己的猜想进行验证？学生举例汇报。上述教学花了一些比较多的时间，经过反复对比、辨析积累经验，目的是让 学生发现乘法分配律的本质，即求两个含有相同因数的积的和，可以先求出不同 因数的和，再看作是和与那个相同因数的积，用乘法计算。3. 多种表征，深入理解，建立模型学生只有在充分理解运算定律的基础上，才能进行运用。所以教师应将教学 重点放在让学生深入理解乘法分配律的意义上，而不是把重心放在让学生根据模 型去运用。乘法分配律是一种抽象的数学模型，它与现实生活有着紧密，通过语 言、文字、画图等方式表征模型，从具象到符
15、号，促进学生深层次地理解模型， 从而有效构建乘法分配律模型。【教学片段三】师：以24X（10 + 3）=24X10 + 24X3为例，赋予生活涵 义。呈现：礼盒套装中有一支钢笔和一支圆珠笔。一支钢笔10元，一支圆珠笔3 元，买24套笔一共花多少钱？问：你们觉得生活中能用24X（10 + 3）和24X10 + 24X3来解决的问题还 有吗？厂一叶生 思考后同桌互相说说，师指导。再呈现：一个长方形花坛，长24米，宽10米。现要扩建花坛，4米宽延长 3米，长不变，扩建后的花坛有多大？请学生画图：师：通过刚才的教学，你能用你喜欢的方式来表示这样的等式吗？生：（+）+二XD+XD。生：（甲+乙）X丙二甲X丙+乙X丙。生：（a+b）Xc二aXc+bXc。师：你们真了不起，能够用这么多不同的形式来表示乘法分配律！师：你觉得哪种表示方法更简便？生：
