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1、对数的运算性质1对数的运算性质：如果 a 0 ， a 1， M 0 ，N 0， 那么（1）；（2）；（3）2例题分析：例1用，表示下列各式： （1）； （2）例2求下列各式的值：（1）； （2） 例3计算：（1）lg1421g；（2）； （3）例4已知，求的值。分析：此题应注意已知条件中的真数2，3，与所求中的真数有内在联系，故应将1.44进行恰当变形：，然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式。解： 说明：此题应强调注意已知与所求的内在联系。例5已知，求分析：由于是真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，的存在使变形产生困难，故可考虑将移到等式左端，或者将变为
2、对数形式。解：（法一）由对数定义可知：（法二）由已知移项可得，即，由对数定义知：， （法三）， 说明：此题有多种解法，体现了基本概念和运算性质的灵活运用，可以对于对数定义及运算性质的理解。例6（1）已知，用a表示；（2）已知，用、表示 解：（1）， log 3 4 - log 3 6 = （2）， ， 又，=换底公式1换底公式： ( a 0 , a 1 ；)证明：设，则，两边取以为底的对数得：，从而得： ， 说明：两个较为常用的推论：（1） ； （2） （、且均不为1）证明：（1） ；（2） 2例题分析：例1计算：（1） ； （2） 解：（1）原式 = ； （2） 原式 = 例2已知，求（用
3、a, b 表示）解：， ， ，又， ， 例3设 ，求证：证明：， ， 例4若，求解：， ， 又 ， ， 例5计算：解：原式 例6若 ，求解：由题意可得：， ，对数函数例1求下列函数的定义域：（1）； （2）； （3）分析：此题主要利用对数函数的定义域求解。解：（1）由0得，函数的定义域是；（2）由得，函数的定义域是；（3）由9-得-3，函数的定义域是说明：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式。例2求函数和函数的反函数。解：（1） ； （2） 例4比较下列各组数中两个值的大小： （1），； （2），； （3），.解：（1）对数函数在上是增函数，于是；（2）对数函数在上是减函数，
4、于是；（3）当时，对数函数在上是增函数，于是， 当时，对数函数在上是减函数，于是例5比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1），； （2），； （3），； （4），解：（1）， ，； （2）， ， （3）， ， ， （4）， 例6已知，比较，的大小。解：， ，当，时，得， 当，时，得， 当，时，得， 综上所述，的大小关系为或或例7求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）（且）解：（1）令，则， ， ，即函数值域为 （2）令，则， ， 即函数值域为 （3）令，当时， 即值域为， 当时， 即值域为例8判断函数的奇偶性。解：恒成立，故的定义域为， ，所以，为奇函数。例9求函数的单调区间。解：令在上
5、递增，在上递减，又， 或，故在上递增，在上递减， 又为减函数，所以，函数在上递增，在上递减。说明：利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间。例10若函数在区间上是增函数，的取值范围。解：令， 函数为减函数，在区间上递减，且满足，解得 ，所以，的取值范围为对数函数1 如图，曲线是对数函数 的图象，已知 的取值 ，则相应于曲线 的 值依次为( )（A） （B） （C） （D） 2.函数y=logx1(3x)的定义域是 如果对数有意义，求x的取值范围；解：要使原函数有意义，则解之得： 原函数的定义域为-7，-6)(-6，-5) (-1，+)
6、函数的定义域为一切实数，求k的取值范围。利用图像判断方程根的个数3已知关于的的方程，讨论的值来确定方程根的个数。解：因为在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图可知： 当时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0个；当时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根的个数为1个；当时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根的个数为2个。4若关于的方程的所有解都大于1，求的取值范围解：由原方程可化为，变形整理有（*），由于方程（*）的根为正根，则解之得，从而5求函数的单调区间解：设，由得，知定义域为又，则当时，是减函数；当时，是增函数，而在上是减函数.的单调增区间为，单调减区间为题目2】求函数的
7、单调区间。正解】由得x1或x5，即函数的定义域为x| x1或x5，当x1时，是减函数，是减函数，所以是增函数；当x5时，是增函数，是减函数，所以是减函数；所以的增区间是（-，1）；减区间是（5，）。6、设函数 ，若 的值域为 ，求实数 的取值范围分析：由值域为 和对数函数的单调性可将问题转化为 能取遍所有正实数的问题解： 令 ，依题意 应取遍一切正实数即函数值域是正实数集的子集则有 或 ，解得 已知函数f(x)=lg(a21)x2+(a+1)x+1.(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.解：(1)(a21)x2+(a+1)x+10对x
8、R恒成立.a21=0时，a=1，经检验a=1时恒成立；a210时， a1或a ，a1或a .(2)a21=0，即a=1时满足值域为R；a210时， 1a .1a .7. 的定义域为R，求a的取值范围。【正解】当a=0时，y=0，满足条件，即函数y=0的定义域为R；当a0时，由题意得：；由得a的取值范围为0，4）。【评注】参数问题，分类要不重不漏，对于不等式不一定是一元二次不等式。8.函数y=log(1x)(x+3)的递减区间是( )A.(3,1) B.(,1) C.(,3)D.(1，)【解析】设t(1x)(x3)x22x3(x1)24由(1x)(x3)0得3x1当x(3，1)时，t(1x)(x
9、3)递增ylog(1x)(x3)的递减区间是(3，1)9.已知函数yloga(2ax)在0，1上是x的减函数，则a的取值范围是( )A.0a1 B.a1 C.1a2D.1a2【解析】若0a1，则函数在定义域上是增函数；若a1，则当0x1时，2ax0恒成立即x， 因此1 1a210.求函数y=loga(2-ax-a2x)的值域。【解】由于2-ax-a2x0，得-2ax1时，y=logat递增，yloga2；当0aloga2。故当a1时，所求的值域为（-，loga2）；当0a1时，所求的值域为（loga2,+）。11.求函数y=log2log2(x1,8)的最大值和最小值.【解】 令t=log2x
10、,x1,8,则0log2xlog28即t0,3y=(log2x1)(log2x2)=(t1)(t2)=t23t+2=(t)2 t0,3当t=,即log2x=,x=2=2时，y有最小值=.当t=0或t=3，即log2x=0或log2x=3,也即x=1或x=8时，y有最大值=2.12.设函数y=f(x),且lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),（1）求f(x)的表达式及定义域；（2）求f(x)的值域。【解】（1）若lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)有意义，则又lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),lgy=3x(3-x)。 y=103x(3-x)(0x3)。（2）3x(3-
11、x)=-3x2+9x=-3(x-)2+(0x3),0-3x2+9x。1y10。y=f(x)的定义域为（0，3），值域为（1，10）。13函数 在区间 上的最大值比最小值大2，则实数 =_ 或 ；14已知函数 判断函数的单调区间及在每一个单调区间内的单调性； 当 时，求 的最大值，最小值及相应的 值在 上单调递减，在 上单调递增当 时， ，当 时， 15、已知函数y=loga(1ax)(a0且a1)。(1)求函数的定义域和值域；(2)证明函数图象关于直线y=x对称。 (1)当a1时，函数的定义域和值域均为(，0)；当0a1时，函数的定义域和值域均为(0，+)。(2)由y=loga(1ax)，得1
12、ax=ay，即ax=1ay，x=loga(1ay)，f1(x)=loga(1ax)=f(x)。f(x)与f1的图象关于直线y=x对称，函数y=loga(1ax)的图象关于直线y=x对称。16、.设，求函数的最大值。17、已知函数。 (1)求函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)的值域。 (1)函数的定义域为(1，p)。(2)当p3时，f(x)的值域为(，2log2(p+1)2)； 当1p=时，f(x)的值域为(，1+log2(p+1)。18、已知 ， 求函数的最大值和最小值 .()19：已知的减函数，则的取值范围是（ ）A（0，1）B（1，2） C（0，2）D答案：B。解析：本题作为选择题，用排除法求解较简，由于这里虽然有，故在0，1上定为减函数，依题设必有，故应排除A和C，在B、D中要作选择，可取，则已知函数为，但是此函数的定义域为，它当然不可能在区间0，1上是减函数，故又排除了D，从而决定选B。20函数 （ ）图象的对称轴方程为 ，求 的值解：解法一：由于函数图象关于 对称，则 ，即 ，解得 ， 或 又 ， 解法二： 函数 的图象关于直线 对称，则函数 的图象关于 轴对称，则它为偶函数，即 ，21 已知f(x)= 3(x1)
