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1、 一元二次方程讲义考点一、概念(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式：注：当b=0时可化为这是一元二次方程的配方式(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程 （4）将方程化为一般形式：时，应满足（a0）(4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：该项系数不为“0”；未知数指数为“2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典
2、型例题：例1、以下方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）A B C D 变式：当k时，关于x的方程是一元二次方程。例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为。考点二、方程的解概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题：例1、已知的值为2，则的值为。例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为。说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为。说明：此题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，则m
3、的值为。例5、已知，求变式：若，则的值为。6、方程的一个根为（ ）A B 1 C D 7、若。考点三、方程解法（1）基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。（2）方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法类型一、直接开方法：就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如对于，等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程：（2）（4）（5）例2、解关于x的方程：3. 以下方程无解的是（ ）A. B. C. D.类型二、配方法基本步骤 :1.先将常数c移到方程右边 2.将二次项系数化为1 3.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4.方程左边成为一个完
4、全平方式： 在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例1、试用配方法说明的值恒大于0，的值恒小于0。例2、已知x、y为实数，求代数式的最小值。变式：若，则t的最大值为，最小值为。例3、已知为实数，求的值。变式1：已知，则.变式2：如果,那么的值为。例4、分解因式：类型三、因式分解法: 把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程
5、形式：如， ，分解方法:提公因式,利用平方差与完全平方公式,十字相乘法针对练习：例1、的根为（ ）A B C D 例2. （1）(平方差) (2) (提公因式)（3）（平方差) （4） (完全平方式) (5） (完全平方式) （6）（十字相乘法） （7）（十字相乘法） （8）(提公因式)例3、若，则4x+y的值为。例4、方程的解为（ ）A. B. C. D.例5、解方程：例6、已知,则的值为。变式：已知,且,则的值为。例7、解以下方程(1) (2x 3)2 = (3x 2)2 (2) -= x+2 (4) 5m2 17m + 14=0 (5) (x2 +x+1)(x2 +x + 12)=42类
6、型四、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当判别式大于等于零时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式,就可得到方程的根。 条件：公式： ,典型例题：例1、选择适当方法解以下方程：说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。类型五、 “降次思想”的应用主要容：求代数式的值；解二元二次方程组。典型例题：例1、已知，求代数式的值。例2、如果，那么代数式的值。例3、已知是一元二次方程的一根，求的值。说明：在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：能对已知式进行灵活的变形；能利用已知条件或变形条件，逐步把所求代数式的
7、高次幂化为低次幂，最后求解。例4、用两种不同的方法解方程组说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再消元。但都表达了一种共同的数学思想化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根与系数的关系前提：对于而言，当满足、时，才能用韦达定理。主要容：应用：整体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ） A. B.3 C.6 D.说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握、之间的运算关系.例2、解方程组：说明：一些含有、的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数
8、的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便.例3、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，（1）求k的取值围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。例4、当取何值时，方程的根与均为有理数？例5、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例6、已知，求变式：若，则的值为。例7、已知是方程的两个根，那么.测试题目：一、选择题1解方程：3x2+27=0得（ ）.(A)x
9、=3 (B)x=-3 (C)无实数根 (D)方程的根有无数个2.方程(x-1)2=4的根是( ).(A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-2二、填空3方程9x2=25的根是_.4.已知二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,则t=_,另一个根是_.5.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,则m的值为_.6.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为_.7.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个相同的解,则a=_.三、用适当的方法解以下关于x和y的方程(x+2)(x-2)=1.(3x-4)2=(
10、4x-3)23x2-4x-4=0.x2+x-1=0.x2+2x-1=0.(2y+1)2+3(2y+1)+2=0.8用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.（A） 因式分解法 （B）配方法 （C）公式法9解关于x的方程：x2-2x+1-k（x2-1）=010已知|2m-3|=1，试解关于x的方程3mx（x+1）-5（x+1）（x-1）=x211、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？12、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少? /
