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1、从“除法竖式”到“符号语言”的教学思考【文章摘要】本文源于对一位数除两位数笔算除法第一课时中，如何提高学生对竖式的认同感和认知度的教学讨论。在对“竖式是什么”进行深层次的解析与思考中，我们达成了数学竖式是一种“符号语言数学的定义、定理中用文字来描述的称之为文字语言，用数、字母、运算符号等来表示的语言称之为符号语言，用表示三角形，等称之为图形语言。”的共识，开始思考要让学生在竖式学习中，经历用“符号语言”对数学现象的进行浓缩和刻画的过程。基于这样的理念，我们对于教材中例题的教学顺序，“先呈现484”和“先呈现524”进行了调整与反思，试图寻找促进学生“符号语言”能力发展的最佳教学顺序。本文真实记
2、录这次教学研究的全过程，其中有我们的教学思考、也有我们的课堂实践，更有我们透视现象后的理性反思，收获和成长自在不言之中。【关键词】符号语言 除法 竖式 教学顺序【源起：由一个教学尴尬引出的话题】在小学数学教材编排中，关于“除法运算”的内容，基本划分成3个知识组块，它们分别是“除数是一位数的整数除法”、“除数是两位数的整数除法”、“小数除法”。而“除数是一位数的整数除法”又是另两个知识组块的基础，这一内容的知识基础是表内除法（有余数除法）的笔算、一位数除两、三位数的口算。依据教材意图，本课要在原有基础上实现从“表内除法”到“被除数是两位数，除数是一位数，商是两位数（被除数十位没有余数或有余数）”
3、的突破。据相关调查统计显示，学生在学习这一内容时，一般存在以下困难：（1）难以理解和讲清算理。（2）学生算法掌握基本停留在对算法程序的记忆上。（3）学生对算法学习的认识存在思维偏差。有意义的教学研究应该源于真实的教学困惑，源于真实的课堂。在一次教学自我诊断中，老师们对于除数是一位数除法的笔算第一课时进行了教学解析，并由此构建出一个由从尴尬走入沉思，从沉思走向实践，再从实践走向思辨的教研话题发 现 的 震 动除法竖式教学，想说爱你不容易！在我们的教学研讨中，一位教过三年级的老师回忆了这样一幕尴尬：学生们在尝试用竖式进行计算484时，出现了以下两种写法： 当教师引导学生对两种竖式进行评价时，同学们
4、更多表示出是对写法二的支持，许多同学认为写法一太复杂、没必要。其后的过程，便是老师极其痛苦与艰难地“说服”学生用第一种写法，并细致分析竖式、反复强调竖式书写的格式和顺序，但事与愿违，“会算”掩盖了“理解”，结果依然有不少学生“将葫芦画成了瓢”。教师只能采取“头痛医头”、“堤内损失堤外补”等方式进行高耗低效的补救，用“题海战术”让学生反复练习，直至掌握。继后的教学讨论中，我们了解到许多教过这一内容的老师都在此教学中有着“切肤之痛”。失败是一种经历，它并不可怕，关键是要学会反思自己的经历，寻找失败的原因。以老师们的若干次失败的实践与思考作为研究基础，我们在教研组进行了深层次的思辨认 同 的 舒 畅
5、寻求走出“困境”的“解径”针对老师们提出的几个有争议的问题，我们首先在教研组内进行了讨论，并在某些问题上达成了共识。问题一：除法竖式到底是什么？我们的共识：除法竖式是一种数学的符号语言，具有计算与表达的双重功能。在教学中，一部分教师对于竖式的教学，往往停留在将竖式当作是一种格式，当作是“一种规定”，简单地“告诉”给学生，在这样的教学中，竖式只起到了计算的作用，而没有凸显它的表达和显示功能。曾问过一位语文老师：“竖式是什么？”他给了一个非常形象的解释：“竖式就是数学的表达。”从数学的角度来理解“表达”两字，应该就是用符号化的语言来刻画和浓缩数学现象，即以符号的方式不断简化操作语言，并以符号与逻辑
6、不断克服自然语言中含糊不清的地方，同时以数学模型的方式不断地扩充自然语言的表达范围，竖式应该具有表达与计算两种功能。问题二：竖式教学需要创设数学情境吗？我们的共识：需要。情境的最终作用是为学生符号思维的提升提供物质准备。具体情境是思维的支柱。情境和操作缺失了，学生的符号化过程就无法落实。本课教学的重点是让学生突破从“表内除法商是一位数”到“商是两位数”的竖式表达。除数是一位数的除法中所创设的植树的数学情景，正是让学生经历分两次的过程，以便学生能从这样的操作活动中抽象出数学模型，建立起操作活动、分步口算和除法竖式间的对应联系。借助现实情景去抽象数学模型，其最本质的目的在于，让学生经历一个由图到式
7、，由式到图的数学建模过程，在数学现象与数学符号相互融合和转化中，促进学生符号思维的真正提升。综上所述，我们认为在笔算除数是一位数的除法教学中，应将除法竖式作为一种近似符号化语言，让学生在现实情境中提炼数学现象、表达数学现象，经历一个较为完整的数学抽象与符号表达的学习过程。取 舍 的 艰 难两种教学顺序谁主浮沉？然而，“符号语言”的学习需要有较高的抽象概括能力，因为在学习的过程中，学生需要经历一个从具体表象抽象符号化的过程，这对三年级学生的数学思考能力来说，不是一件很容易的事。当我们教学研究重新陷入困境时，老师们开始进行更深层次的教学思考与更为大胆的教学假设。四年级备课组的杨老师提出，可否改变例
8、题的呈现顺序，先探究524，再学习484，先呈现十位有余的情况，这样更有利于学生根据自己的口算与实物操作的经验，对竖式没能表达出“第一次分后有余”提出质疑，会让学生产生正确的竖式表达的需要。我们的教学思考行进在了很有可能发生重大变化的拐点上，可以向左走，也可以向右走。可能使我们的教学发展向上升，也可能导致我们的教学研究向下坠。两种不同的教学顺序，谁主浮沉？【实践：从摇摆走向平衡】面对拐点，我们的选择便是实践，以学生的学习方式来讨论教学方式，在实践中寻找教学顺序与学生学习体验得以平衡的支点。1实践班级与实施教师的选择。我们首先对三年级各班学生就学习数学的能力、算理的理解水平、前期的知识准备进行了
9、前测，选择两个知识水平与学习能力相近的班级进行实验。同时，我们选择了两位教龄相同、教学水平也相当的青年老师参与教学实施。2教学方法与环节的确定。异构顺序：教学实践一先探究484 教学实践二先探究524同构环节：3教学评估方法的确定。以学论教，需要获得学生学习的充分信息，了解学生学习的真实感受和体验，才能围绕学习活动和学习状态，作出更有价值和意义的讨论。为了保证对于学生数学思维信息的全面收集，教研组组织了两方面的教学评估力量对课堂进行全面的观察与测量。（1）现场观察：组织教师观察、全真记录学生在学习进程中的语言、行动，课后组织访谈小组对部分上课学生进行学习访谈。（2）课堂测量：对学生解答两个例题
10、的正确率进行统计，课后对两班同学就相关例题进行教学后测，以便我们更理性地梳理行为、效果，作出更理性的教学推测。行到水穷处，坐看云起时记录柳暗花明的原生态课堂在教学现场记录、倾听孩子们最真实的声音，不仅是孩子们在课堂中参与反思、对比中获得了提高，作为教学研究者的我们也能从中得到更多的启示。1算理体验从“隔岸观火”到“入乎其内”。掌握算法和探究算理是计算教学的两大任务，算法是解决问题的操作程序，算理是算法赖于成立的数学原理。在“先探究484”中，学生对于算理的理解相对比较牵强，在课后访问中我们发现，仍有许多孩子坚持认为式 式即 也能表达“分两次”的过程，而且书写时更加简便。而在“先探究524”学生
11、就不得不直面“第一次分后有余”的茫然。教学现场片断一：比较下面两个除法竖式，哪种更能合理地表现我们刚才口算与分小棒的过程？ 生1：从书写上看，我觉得第一个竖式更简便，我也能看懂。生2：但是我不能从第一个竖式中看到我们刚才分的过程。生3：我觉得第二个竖式第一层就是我们第一次分的情况，第二层就是我们第二次分的情况。生4：是的，每一层都能让我们看出有多少，分走了多少，还有没有分完。第二个竖式更能表达我们分的过程。生5：我支持第一个竖式，我可以把第一次分的过程记在心里呀，这样也很简便。生6：如果用第一个竖式，如果我们要分数量更多的物品，记在心里，就算不快了。 (课堂上估计大约有三十几位同学认可了第二个
12、竖式的写法，有十余位同学仍然坚持第一个竖式的写法)片断二：全课小结，对于我们今天所学习的笔算除法，你有什么想说的吗？ 生1：我觉得这样的除法比我们以前学过的除法麻烦，竖式很长。师：想一想，为什么麻烦了？生1：可能是因为我们在这里分的时候要分两次分。生2：我发现其实竖式与口算的过程是一样的，只是表达的方式不一样。生3：我还是觉得象、，甚至是更复杂的这些题都不需要列竖式，我直接通过口算就可以计算出结果。（许多学生颔首表示赞同）生4：但是，如果象524这样，十位分后有余，如果借助竖式就能帮助我们准确计算了。从上面的片断中，我们不难看出， “先探究524”，把学生抛置到一个有难度的思维空间，学生会调动
13、内需用更合理的途径去发现算理、理解算理。虽然，当学生要把更为抽象的竖式计算顺序与形象具体的分小棒过程建立联系，需要延长竖式展现与辨析的时间与过程，但磨刀不误砍柴工，实践证明，学生从竖式计算、口算与操作过程的整体感知出发，在整体观察下实施局部分析，更有利于达成竖式计算算理与实物操作过程的正确综合。“象、，甚至是更复杂的这些题都不需要列竖式！”学生们的“茅塞顿开”，不仅让课堂上的学习伙伴“豁然开朗”，也让在场的老师们“怦然心动”， 算法探究能改变学生对数学的态度，让学生的算理理解成了一个过程，而不是简单的记忆程序和按程序操作，即便方法遗忘了，也可以依籍算理的探究过程得以恢复，使学生掌握的数学知识更
14、具可持续发展的张力，效果果然“妙不可言”。 2算法掌握从“食而不化”到“水到渠成”。除法竖式计算时是从高位除起，这和笔算加,减,乘法的计算顺序是不同的。在“先探究484”的口算与分小棒的过程中，先算“404”可以，先算“84”亦可以，不能凸显出“从高位除起”的必要性。学生对于“从高位除起”的算法，只能囫囵吞枣，机械记忆，最终食而不化。而当我们调换了教学顺序后，这一尴尬很快得到了化解。教学现场片断一：用分小棒来操作表示524。 平均每班种多少棵树苗？教师请了一个数学学习程度中等的学生。拿到52根小棒时，他首先拿出2根试图分给同学，因为不够分，他马上就停住了，又打算从其中一捆中抽出2根再分。同学们
15、在下面提示：“先分大捆的，先分大捆的，这样方便！”他随即顿悟似的拿出4捆，平均分给每个人，再把剩余的一捆打开与2根合起来，平均分给了4个人。片断二：探讨竖式计算中，先算十位上的“54”，还是先算“124”。生1：当然是从十位算起，我们刚才分小棒就是这样操作的。生2：是的，先分了大“头”，再把剩下的几个十与零散的合起来再分。生3：对，生活中我们分东西时，一般就是这样分的，这样分得快。所以先从十位算起也更简便，不容易算错。相对于“先探究484”的教学中，因为十位与个位都够除，所以学生对于从“十位除起”只能以强调机械的方式记忆。而学生们在“先探究524”的教学过程中，体现了个位不够分的矛盾后，会更多表现出对于“先从高位除起”的认同感。符号语言的抽象应该是显性操作活动和内隐思维活动的统一。在对学生的思维轨迹进行记录与分析中，我们发现“先探究524”，给学生符号化的过程增加了障碍，更有利于学生实现了算理直观到算法抽象的正确迁移，使学生在操作中能有所思、有所感、有所悟、有所得。鱼与熊掌，不能兼得？直面南辕北辙的尴尬数据为了我们
