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1、1 随机过程的基本概念(1) 随机过程的定义随机过程可从样本函数与随机变量两种角度定义。第一，随机过 程是所有样本函数的集合；第二，随机过程可以看作在时间进程中处 于不同时刻的随机变量的集合。(2) 随机过程的分布函数 n 维分布函数F (x ,x ,x ;t,t，,t )二 Pg(t) x ,g(t ) x ,g(t ) x n 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n n 维概率密度函数QF (x , x，,x ; t, t，,t )2nf (x , x，,x ;t ,t，,t ) n 1 2n1n 12 n 1 2 nQx, Qx，,Qx12n维数 n 越大，对随机过程统计特征的描
2、述就越充分。(3) 随机过程的数字特征 均值(数学期望)Eg (t) J s xf (x, t)dx a(t)一8 1 均值表示随机过程的样本函数曲线的摆动中心。 方差Dg (t) Eg (t) - Eg (t )2 Eg 2 (t) - a 2(t) c 2(t)方差表示随机过程在时刻t相对于均值的偏离程度。 自相关函数R(t1,t2)Eg(t1)g(t2) 自相关函数目的是为了衡量在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。 协方差函数B(t,t ) = Eg(t)一a(t )g(t )一a(t ) = R(t,t )一a(t )a(t )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2协方差函数
3、对随机过程在任意两个时刻上的随机变量与各自均值的差值(起伏值)之间的相关联程度进行描述。描述了在任意两个时刻的起伏值之间的相关程度 互相关函数R (t, t)二 E匡(t)n (t)g ,ni 2i 2互相关函数用来衡量两个随机过程之间的相关程度 2平稳随机过程 (1)定义严平稳随机过程若一个随机过程g(t)的任意有限维分布函数与时间起点无关，则 称为严平稳的，即：f (x ,x，x ,t,t，t ) = f (x ,x，x ,t +A,t +A,t +A)n 1 2 n 1 2 n n 1 2 n 1 2 n 宽平稳随机过程若一个随机过程g(t)的均值为常数，自相关函数仅于时间间隔 T= t
4、 - t有关，则称为宽平稳，即：21E g (t) = a, R (t, t ) = R G)12(2)各态历经性若随机过程的任一实现，经历了随机过程的所有可能状态，则称其是各态历经的，即随机过程的数字特征，可以由其任一实现(样 本函数)的数字特征来代表。遍历a = lim f x (t )dtT T8 T- T 21 T 2时间平均代替统计平均R (t ) = limJ x (t) x (t +t )dtT T8 T-T 23)平稳过程的自相关函数 偶函数： R(t ) = R(-t)； 有界性：R(T ) R(0)； 周期性：若搐)=搐+ T )，则 R(t)= R(t+T)； 平均功率：
5、R(0) = Eg2(t)；(从时域角度给出平均功率求法) 直流功率：R(g) = E2 g (t)； 交流功率：b2 = R(0) -R(8)。( 4)平稳过程的功率谱密度平稳过程的功率谱密度 P ( f )与其自相关函数 R(t )是一对傅里叶 g变换关系，即Pg( 3 )R(t)=J00R (t )e - ji d t-01 J0-0Pg(f)=R(t)=JJ o R (t )e -j2“ fdt-000 P (f )ej2“fdf-0 g根据功率谱密度，可以从频域角度给出平稳过程的平均功率为R(0)=亠 J P (3)d3 = Jo P (f )df。2“ -0 g-0 g3 高斯随机过程1)高斯过程的性质 高斯过程的 n 维分布仅依赖于各随机变量的均值、方差和归一化 协方差； 广义平稳的高斯过程也是严平稳的； 高斯过程中的随机变量之间若互不相关，则也是统计独立的； 高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。
