《空间几何体的表面积和体积公式汇总表》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间几何体的表面积和体积公式汇总表（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、空间几何体的表面积和体积公式汇总表1. 多面体的面积和体积公式2旋转体的面积和体积公式Sa7rlX d】sg仃幻)工fr r】斗兀Gl+xl)4RT工工貝门Jt T 1一 Krb号11小.上収J義申1廿列套5逊琳Ki I衰示出氐銅与瑙0町屣叭4中t朋曲IB台 上下R向牛冉R.託K半程韵面积(5-积 )障wwBEffi周左乂1S 25S hS *匸 h柱chS * b锻Bitt各fl帆之和S.+S.-S T 3iE*ft2KS 鼻5 JhAS *M|】h (S it*S n*J合可,正琶讨(C*G* Ih J录中气莪P机“匕井麹诙示上卩甌胸长九先郦師丫章押商I我科腹恰1、圆柱体:表面积:2 n
2、Rr+2 n Rh体积:n R2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:n R2+ n R(h 2+R2)的平方根体积:n R2h/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高，3、正方体a一边长,S = 6a2 ,V = a34、长方体a长，b 宽,c 高 S= 2(ab+ac+bc) V = abc5、棱柱S底面积h 高V = Sh6 、棱锥S底面积h 高V = Sh/37、棱台S1 和 S2 上、下底面积 h 高 V = hS1+S2+(S1S2)A1/2/38 、拟柱体S1 上底面积，S2 下底面积，S0 中截面积h 高,V = h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r 底半
3、径,h 咼,C 底面周长S底一底面积,S侧一侧面积,S表一表面积C= 2 n rS 底=n r2,S 侧=Ch ,S 表=Ch+2S 底,V = S 底 h = n r2h10 、空心圆柱R外圆半径,r 内圆半径 h 高 V =n h(RA2-八2)11 、直圆锥r 底半径 h 高 V =n rA2h/312、圆台r 上底半径，R下底半径,h 高V =n h(R2+ Rr + r2)/313、球r 半径 d 直径 V = 4/3 n rA3 = n d八3/614、球缺h 球缺高,r 球半径,a 球缺底半径 V = n h(3a 2+h 2)/6 =n h2(3r-h)/315、球台r1 和
4、r2 球台上、下底半径 h 高 V = n h3(r1 2 + r2 2)+h 2/616 、圆环体R-环体半径 D-环体直径r-环体截面半径 d-环体截面直 径V = 2 n 2Rr2 = n 2Dd 2/417 、桶状体D 桶腹直径d 桶底直径h 桶咼V = n h(2D2 + d2)/12 ,(母线是圆弧形，圆心是桶的中心)V = n h(2D 2 + Dd + 3d 2/4)/15 (母线是抛物线形)1. 直线在平面内的判定(1) 利用公理 1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.(2) 若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即
5、若 a丄B ,A a , AB丄B ,贝U AB a .(3) 过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A a,a 丄 b , A a ,b 丄 a，贝V a a .(4) 过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若Pa ,P 3 , Ba, P a,a /a ,贝 V a 3 .(5) 如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若 a /a ,A a , A b,b / a,则 b a .2. 存在性和唯一性定理(1) 过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；(2) 过一点与已知
6、平面垂直的直线有且只有一条；(3) 过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；(4) 与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；(5) 过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；(6) 过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；(7) 过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；(8) 过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.3. 射影及有关性质(1) 点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影 还是点 .(2) 直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平 面上的射影 .和射影
7、面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线(3) 图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面 图形在该平面上的射影 .当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形 .(4) 射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i) 射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii) 相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(iii) 垂线段比任何一条斜线段都短 .4. 空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两
8、个角相等 . 推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角( 或直角 )相等 .异面直线所成的角(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点0,分别引直线a/ a,b / b,则a 和b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.取值范围：0 v 90 .(3) 求解方法 根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角0 ; 解含有0的三角形，求出角 0的大小.5. 直线和平面所成的角(1)定义和平面所成的角有三种：(i) 垂线 面所成的角 的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 .(ii) 垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所
9、成的角是直角(iii) 一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0 的角取值范围OW0W 90 (3) 求解方法 作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角0. 解含0的三角形，求出其大小 最小角定理斜线和平面所成的角， 是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.6. 二面角及二面角的平面角(1) 半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2) 二面角 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱， 这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面
10、相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角0 的取值范围是0 V0W 180 (3) 二面角的平面角 以二面角棱上任意一点为端点， 分别在两个面内作垂直于棱的射线， 这两条射线所组成的 角叫做二面角的平面角 .如图，/ PCD是二面角a -AB- 3的平面角平面角/ PCD的大小与顶点 C在棱AB上的位 置无关 . 二面角的平面角具有下列性质：(i) 二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB丄平面PCD.(ii) 从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点 )作另一面的垂线， 垂足必在平面角的另一边 (或其反向延长线 )上.(ii
11、i) 二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD丄a，平面PCD丄3 找(或作)二面角的平面角的主要方法(i) 定义法(ii) 垂面法(iii) 三垂线法(W )根据特殊图形的性质(4) 求二面角大小的常见方法 先找(或作)出二面角的平面角0，再通过解三角形求得0的值 利用面积射影定理S =S COS a其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，a为二面角的大小 利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小 .7. 空间的各种距离点到平面的距离（1）定义 面外一点引一个平面的垂线， 这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离（2）
12、求点面距离常用的方法：1）直接利用定义求 找到 （或作出 ）表示距离的线段； 抓住线段 （所求距离 ）所在三角形解之 .2）利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离 .3）体积法其步骤是： 在平面内选取适当三点， 和已知点构成三棱锥； 求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积 S;由V=S h，求出h即为所求这种方法的优点是 不必作出垂线即可求点面距离 .难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4）转化法将点到平面的距离转化为（平行 ）直线与平面的距离来求 .8. 直线和平面的距离(1) 定义一条直线和一个平面平行，这条直线上
13、任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平 面的距离 .(2)求线面距离常用的方法直接利用定义求证 (或连或作 )某线段为距离，然后通过解三角形计算之. 将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之 作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离9. 平行平面的距离(1) 定义 个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线 .公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离 .(2) 求平行平面距离常用的方法 直接利用定义求证(或连或作 )某线段为距离，然后通过解三角形计算之. 把面面平行距离转化为线面平行距离，再
14、转化为线线平行距离， 最后转化为点线 (面)距离，通过解三角形或体积法求解之 .10. 异面直线的距离（1） 定义 条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离 .任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段 .（2）求两条异面直线的距离常用的方法 定义法 题目所给的条件，找出 （ 或作出 ）两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、性 质求出公垂线段的长 .此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形 .转化法 为以下两种形式：线面距离面面距离等体积法最值法射影法公式法公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内 ,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内.公理 2：如果两个平面有一个公共点 ,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理 3： 过不在同一条直线上的三个点 ,有且只有一个平面 .推论 1: 经过一条直线和这条直线外一点 ,有且只有一个平面 .推论 2：经
