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1、a = pa + qa+ kqn型多元递推数列n+1nn-1通项公式的证明及其应用江苏省响水中学魏立国 邮编 224600内容摘要：解决“a = pa + qa ,+ kQn”型递推数列通项公式的简n+1nn -1捷方法。一、一道课本例题引发的思考二、例题引发的性质证明 三、性质应用举例。四、性质证明和应用后的反思。随着新一轮课程改革的到来，各省市把矩阵的相关知识下移到中学， 这无疑给中学师生增加了知识和力量。笔者在教授苏教版 4-2，矩阵的简 单应用一道例题时，特发奇想，找到了解决“a 1 = pa + qa 1 + kqn ” n+1nn-1型递推数列通项公式的简捷方法。本文把我的感悟过程
2、及其解决方法呈现 予各位同仁，以期共同探讨。一、一道课本例题引发的思考例题：自然界生物种群的成长受到多种因素影响，比如出生率、死亡 率、资源可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等，因此，它们 和周边环境是一种既相生又相克的生存关系。但是，如果没有任何限制， 种群也会泠滥成灾。现假设两个相互影响的种群x、y,随时间段变化的A = a + 2h数量分别为a , b ,有关系式n+1 - n n，其数量变化趋势。本 n nb = 3a + 2bn+1nn题选自苏教版 4-2 第 77页，矩阵的简单应用例题。教完本道例题后，笔者在思考，本题通过两个递推等式，利用特征值 与特征向量可求a、b ,那
3、么对于一道递推等式，a 1=pa +qa 1能否通过n nn+1 n n-1特征值与特征向量求解呢？如果想要像例题那样求解，在递推式中必有b ,且还需增加一个关于b 1与a、b的线性关系等式。 n n+1 n na= pa + qbaPqan+1nn ，:n+1=nb=a + 0 x bb1obn+1nnn+1n在+1=卩+4入1中，入1位置就是例题中的位置，如果令=%( 则bn+1=an，显然第二个等式浮出水面。即构造如下递推等式组a 二 ma + la + kqn，n+1nn-1可根据三元递推等式组a= ma+1b+kcn+11n1n1nb= ma+1b+ k c，n +12n2n2nc=
4、 m a+1b+ k cn +13n3n3n令 bn =nan-1，m = m,l 二 l,k 二 k,m 二 1,l 二 k 二 m 二 l 二 0,k 二 q, c=qn，构1 1 1 2 2 2 3 3 3 n造三元递推等式组a = ma + lb + kqnn+1nn b = an +1nc = qn+1n +1mlkan100bn00qqnan+1bn+1 cn +1由此笔者得到如下的性质证明。二、例题引发的性质证明特征性质：如果数列an满足,a = ma + la + kqn 且矩阵 A= n +1nn -1值为九、九;12尢、尢、q两两互不相等,12则an+1=內+ +卜广t3q
5、nne N*)证明由 a = ma + la + kqn ，n+1nn-1可得如下递推等式组，m l kan1 0 0bn00 qqnan +1bn +1qn+1令mB= 10，特征a = ma + lb + kqnn+1nn b = an +1nc = qn+1n +1九一m -1-k多项式f （九）=（九-q）九一m -1-1九九一 q=（九一q）（九九）（九一九）,12a=did, a =eie, a =fi fi22232def333,则可设卩=设九、九、q对应的特征向量为12a2b2q2=m a + m a + m a ,1 1 2 2 3 3aaan+in2b=Bb= . = B
6、n-ibn +in2qn+iqnq 2=Bn-i m a + m a + m a =1 1 2 2 3 3m 九 n-idid+ m 九 n-ieie+mqn-ir f i fii222232def333Bn-2 m 九 a + m 九 a + m qa =.=1 1 1 2 2 2 3 3a = md 九n-i + m e 九n-i + m f qn-in+i i i i2 i 23 i推论1：如果数列 傀,满足an+i=pan+ qan-i （n$2）.A=pqi0有两m 九 n-ia + m 九 n-ia + m qn-ia =1 1 1 2 2 2 3 3m d 九n-i + m e
7、九n-i + m f qn-ii i i 2i 23 im d 九n-i + m e 九n-i + m f qn-ii 2 i2 2 23 2m d 九n-i + m e 九n-i + m f qn-ii 3 i2 3 23 3无论九i、九2、q是否为0，an+i都可写成t九nqn形式。i i 2 23个不相等的特征值九、九。则a = k九n +1九n，证明：根据性质，令q=0,i 2n+ii2即得 推论2：如果数列a ，满足a = ma + la + km 1（k丰0）,矩阵A=i 0nn+inn-i的特征值为九、九,九、九、1两两互不相等，则a 1 = t九n + t九n + t1 2 1
8、 2 n+1 1 1 2 2 3 证明：根据性质，令 q=1 即得三、性质应用举例例 1 ：设数列解：由 A=九=4,2X =(-1)n-1+4n-1nx 满足,n4，则f （九）=Xn=3Xn-1+4Xn-2，且 X1=2，X2=3 J 九一3-1二 k X (-1)n-1 + l X 4n-1二（九 +1）（九一4）,将 x =2，1求 xnnx2=3 代 入 得 k = l =1 例2:数列an满足+1=巒2入1+3,且气=2,屯=3，求 ann1解：由A=1九-1，则 f (九)=|X E - A| 二-1-2=九2 九一2, 贝U九九=1,九=2,a=t(-1)n-1+t X2n-i
9、+1，又 a =a +2a +3=10,12n 123321t +1 +1 = 2123得方程组2 -t + 2t +1二3 ,123t + 4t +1 = 10l 123解之得5t =1 68t =2 33t =-3 2583 a = X ( 1)n-1 + X 2 n-1 n 632例 3：数列b 满足 b =2b+3b 4+3X2n，且 b4=1, b2=2，求 bnn+1 n n-112n2 3解：A=,则1 0九2 f(九)=| 九 E - A| =-1=X 2 - 2九一3 = (X + 1)(X- 3)，贝U 九=1, 九1九 2=3，=/(-1冲+t2X3n-1 + 七彳乂2
10、n-1,广 t + t + t =11235t =1415,又 b =2b+3b+3 X 22=19, 得方程组* t +3 t +21 =2 解之得$ t =321112324t + 9 t + 4 t 二 1 9123t =一43515.b =二 X ( 1)n-1 +X 3n-1 4 X 2n-1n 44评注：例 1、例2、例 3 都是一般中学生望而止步的多元递推数列。本文 为何显得简单易行，正是因为性质的应用。四、性质证明和应用后的反思1、“an+1=pan+qan1+kqn”型递推数列的通项公式，在一些资料上偶尔也可见到它的公式，但都没有解释其所以然。这一问题一直困扰我多 年，今天得以解决，多亏矩阵知识的下放，让我产生了灵感，找到了证明 的支点。这一问题的解决，让我深切感受到，新课改的必要性。尤其在知 识经济突飞猛进的今天，迫切需要我们的课程要跟上时代的步伐，充实社 会所需的“新的血液”。2、作为教师，要适应新课改形势的需要，无论是新增知识，还是新的教 育理念，都要静下心来学习揣摩。领会其实质，付诸于行动。一句话，现 代教师，只有不断地提高自己的专业素养和业务素养，才能担当起社会所 赋予的责任。3、作为教者，首先自己要有创新精神和创新能力，才能培养出会提出问 题、发现问题、解决问题，具有创新精神和创新能力的高素质的学生。发表于 2011 年中学数学研究第三期
